A equação diferencial y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0,-infty, e lambda é uma constante, é conhecida como Equação de Hermite.
© O polinômio de Hermite Hn(x) é definido como a solução polinomial obtida com lambda=2 n e com o coeficiente de x^n igual a 2^n. Obtenha H0(x), H1(x), cdots, H4(x).

Passo 1

O enunciado pede para obter os polinômios de Hermite Hn(x) de n=0 até n=4, sabendo que eles satisfazem a equação diferencial y'' - 2x y' + 2n y = 0 e têm coeficiente de x^n igual a 2^n. Vamos usar a teoria dos polinômios de Hermite e a sua relação de recorrência.

Passo 2

Os polinômios de Hermite verificam a relação de recorrência
Hn+1(x) ,=, 2x,Hn(x) ,-, 2n,Hn-1(x)
Essa relação vem da equação diferencial e garante que cada Hn(x) seja de grau n com coeficiente líder 2^n.

Passo 3

Precisamos dos casos iniciais. Pelo enunciado, o coeficiente de x^n em Hn vale 2^n:
H0(x)=1,
pois 2^0=1, e
H1(x)=2x,
pois 2^1=2.

Passo 4

Para n=1, aplicamos a recorrência para achar H2(x):
H2(x)=2x,H1(x)-2cdot1,H0(x)=2x,(2x)-2,(1)=4x^2-2

Passo 5

Para n=2, aplicamos a recorrência para achar H3(x):
H3(x)=2x,H2(x)-2cdot2,H1(x)=2x,(4x^2-2)-4,(2x)=8x^3-12x

Passo 6

Para n=3, aplicamos a recorrência para achar H4(x):
H4(x)=2x,H3(x)-2cdot3,H2(x)=2x,(8x^3-12x)-6,(4x^2-2)=16x^4-48x^2+12

Resposta

H0(x)=1
H1(x)=2x
H2(x)=4x^2-2
H3(x)=8x^3-12x
H4(x)=16x^4-48x^2+12

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