A equação diferencial
, e
é uma constante, é conhecida como Equação de Hermite.
© O polinômio de Hermite
é definido como a solução polinomial obtida com
e com o coeficiente de
igual a
. Obtenha
.
© O polinômio de Hermite
Passo 1
O enunciado pede para obter os polinômios de Hermite
de
até
, sabendo que eles satisfazem a equação diferencial
e têm coeficiente de
igual a
. Vamos usar a teoria dos polinômios de Hermite e a sua relação de recorrência.
Passo 2
Os polinômios de Hermite verificam a relação de recorrência
Essa relação vem da equação diferencial e garante que cada
seja de grau
com coeficiente líder
.
Passo 3
Precisamos dos casos iniciais. Pelo enunciado, o coeficiente de
em
vale
:
pois
, e
pois
.
Passo 4
Para
, aplicamos a recorrência para achar
:
Passo 5
Para
, aplicamos a recorrência para achar
:
Passo 6
Para
, aplicamos a recorrência para achar
: