Encontre os valores de x se houver, no quais f não é contínua.
f(x)=\sqrt{2+\tan ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de x, se houver, nos quais f não é contínua. A função dada é
f(x)=\sqrt{2+\tan^{2}x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(x) é \sqrt{2+\tan^{2}x}.
  • Não há outras restrições escritas no enunciado além da própria fórmula.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa “não ser contínua” num ponto e quais pontos podem causar problemas. Definição (em palavras simples): uma função f é contínua em a se (i) f(a) estiver definida, (ii) \lim_{x\to a} f(x) existir finito e (iii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Se qualquer uma dessas três condições falha, dizemos que f não é contínua em a.
Observação prática e útil para provas: geralmente os problemas de continuidade vêm de dois tipos de problema na fórmula
  • pontos onde alguma parte da expressão não está definida (por exemplo divisão por zero, log de número não positivo, tangente em pontos com cosseno zero, raiz de número negativo etc.);
  • pontos onde a composição de funções gera comportamento “infinito” (assíntotas) ou descontinuidade removível.

Passo 3

Determinar o domínio da expressão é o primeiro passo técnico: para que f(x)=\sqrt{2+\tan^{2}x} esteja definida precisamos que
  • \tan x esteja definida, e
  • o radicando 2+\tan^{2}x seja maior ou igual a 0.
Agora analisar cada condição:
  • A tangente \tan x está definida sempre que \cos x \neq 0. Os zeros de \cos x ocorrem em
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Logo \tan x (e qualquer expressão que dependa diretamente dela) não está definida nesses pontos.
  • Quanto ao radicando: \tan^{2}x\ge 0 para todo x onde \tan x existe. Assim
2+\tan^{2}x \ge 2 > 0
sempre que \tan x estiver definida. Portanto a condição da raiz quadrada é satisfeita automaticamente onde \tan x existe — não impõe restrição adicional.
Conclusão desta etapa: o único impedimento para f(x) existir é quando \tan x não existe, isto é, nos pontos
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
O domínio de f é então \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\\ ;\\ k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 4

Agora vamos usar propriedades de continuidade para os pontos do domínio. Fatos que valem lembrar (e que se usam direto em prova):
  • \tan x é contínua em todo ponto do seu domínio (ou seja, em qualquer a com \cos a\neq0).
  • As operações elementares: elevar ao quadrado, somar uma constante e aplicar a raiz quadrada (no domínio apropriado) são operações contínuas.
  • A composição de funções contínuas é contínua.
Aplicando essas ideias: em qualquer ponto a do domínio de f temos que x\mapsto\tan x é contínua em a; então x\mapsto \tan^{2}x é contínua em a; somando 2 continua; e como o valor do radicando ali é maior que 0, a aplicação da função raiz quadrada também é contínua. Pela composição, f é contínua em todo a do domínio.
Portanto não existem descontinuidades “internas” ao domínio: todos os possíveis pontos de descontinuidade estão nos pontos fora do domínio, que já identificamos.

Passo 5

Falta caracterizar a natureza das descontinuidades nos pontos excluídos do domínio. Tome um ponto crítico x_0=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Perto desse ponto a tangente tende a infinito quando se aproxima lateralmente (por exemplo, ao aproximar x de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda ou direita, \tan x\to \pm\infty). Então \tan^{2}x\to +\infty e consequentemente \sqrt{2+\tan^{2}x}\to +\infty. Isso indica que em cada x_0=\tfrac{\pi}{2}+k\pi a descontinuidade é do tipo essencial (descontinuidade infinita / assíntota vertical), não é removível.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}

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