Encontre os valores de
se houver, no quais
não é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de
, se houver, nos quais
não é contínua. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - Não há outras restrições escritas no enunciado além da própria fórmula.
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa “não ser contínua” num ponto e quais pontos podem causar problemas. Definição (em palavras simples): uma função
é contínua em
se (i)
estiver definida, (ii)
existir finito e (iii)
. Se qualquer uma dessas três condições falha, dizemos que
não é contínua em
.
Observação prática e útil para provas: geralmente os problemas de continuidade vêm de dois tipos de problema na fórmula
- pontos onde alguma parte da expressão não está definida (por exemplo divisão por zero, log de número não positivo, tangente em pontos com cosseno zero, raiz de número negativo etc.);
- pontos onde a composição de funções gera comportamento “infinito” (assíntotas) ou descontinuidade removível.
Passo 3
Determinar o domínio da expressão é o primeiro passo técnico: para que
esteja definida precisamos que
-
esteja definida, e - o radicando
seja maior ou igual a .
Agora analisar cada condição:
- A tangente
está definida sempre que . Os zeros de ocorrem em
Logo
(e qualquer expressão que dependa diretamente dela) não está definida nesses pontos.
- Quanto ao radicando:
para todo onde existe. Assim
sempre que
estiver definida. Portanto a condição da raiz quadrada é satisfeita automaticamente onde
existe — não impõe restrição adicional.
Conclusão desta etapa: o único impedimento para
existir é quando
não existe, isto é, nos pontos
O domínio de
é então
.
Passo 4
Agora vamos usar propriedades de continuidade para os pontos do domínio. Fatos que valem lembrar (e que se usam direto em prova):
-
é contínua em todo ponto do seu domínio (ou seja, em qualquer com ). - As operações elementares: elevar ao quadrado, somar uma constante e aplicar a raiz quadrada (no domínio apropriado) são operações contínuas.
- A composição de funções contínuas é contínua.
Aplicando essas ideias: em qualquer ponto
do domínio de
temos que
é contínua em
; então
é contínua em
; somando
continua; e como o valor do radicando ali é maior que
, a aplicação da função raiz quadrada também é contínua. Pela composição,
é contínua em todo
do domínio.
Portanto não existem descontinuidades “internas” ao domínio: todos os possíveis pontos de descontinuidade estão nos pontos fora do domínio, que já identificamos.
Passo 5
Falta caracterizar a natureza das descontinuidades nos pontos excluídos do domínio. Tome um ponto crítico
. Perto desse ponto a tangente tende a infinito quando se aproxima lateralmente (por exemplo, ao aproximar
de
pela esquerda ou direita,
). Então
e consequentemente
. Isso indica que em cada
a descontinuidade é do tipo essencial (descontinuidade infinita / assíntota vertical), não é removível.