Encontre uma fórmula para
se
é descrita como indicado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma fórmula para
quando
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada como produto de duas funções:
e . - A raiz quadrada exige
. Além disso o denominador não pode ser zero, logo e . Combinando, o domínio de interesse é . - O objetivo é calcular a derivada
em termos de .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. Defina
A regra do produto diz que
Vou calcular
e
separadamente e depois montar
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro escrevo
. A regra da potência diz que, para qualquer
,
Aplicando com
:
Como
, tem-se
Passo 4
Calcular
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
e
. Calculo as derivadas:
Aplicando a fórmula:
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandir
:
Substituindo no numerador:
Portanto
Passo 5
Agora monto
. Substituindo
:
Posso reescrever a primeira parcela de forma clara:
Assim uma forma final conveniente para a derivada é
válida para
(onde a função original está definida).