Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) se f(x) é descrita como indicado.
f(x)=(2 \sqrt{x}+1)\left(\frac{2-x}{x^{2}+3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma fórmula para f^{\prime}(x) quando
f(x)=(2\sqrt{x}+1)\left(\frac{2-x}{x^{2}+3x}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada como produto de duas funções: 2\sqrt{x}+1 e \dfrac{2-x}{x^{2}+3x}.
  • A raiz quadrada exige x\ge 0. Além disso o denominador x^{2}+3x=x(x+3) não pode ser zero, logo x\neq 0 e x\neq -3. Combinando, o domínio de interesse é x>0.
  • O objetivo é calcular a derivada f^{\prime}(x) em termos de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Defina
u(x)=2\sqrt{x}+1,\qquad v(x)=\frac{2-x}{x^{2}+3x}.
A regra do produto diz que
(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.
Vou calcular u^{\prime}(x) e v^{\prime}(x) separadamente e depois montar f^{\prime}(x).

Passo 3

Calcular u^{\prime}(x).
Primeiro escrevo \sqrt{x}=x^{1/2}. A regra da potência diz que, para qualquer n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Como u(x)=2\sqrt{x}+1, tem-se
u^{\prime}(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}+0=\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Calcular v^{\prime}(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para v=\dfrac{p}{q},
v^{\prime}=\frac{p^{\prime}q-p q^{\prime}}{q^{2}}.
Aqui p(x)=2-x e q(x)=x^{2}+3x. Calculo as derivadas:
p^{\prime}(x)=-1,\qquad q^{\prime}(x)=2x+3.
Aplicando a fórmula:
v^{\prime}(x)=\frac{(-1)(x^{2}+3x)-(2-x)(2x+3)}{(x^{2}+3x)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandir (2-x)(2x+3):
(2-x)(2x+3)=4x+6-2x^{2}-3x=-2x^{2}+x+6.
Substituindo no numerador:
\begin{aligned} \text{num}&= -x^{2}-3x -\bigl(-2x^{2}+x+6\bigr)\\\ &= -x^{2}-3x +2x^{2}-x -6\\\ &= x^{2}-4x-6. \end{aligned}
Portanto
v^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-4x-6}{(x^{2}+3x)^{2}}.

Passo 5

Agora monto f^{\prime}(x)=u^{\prime}v+uv^{\prime}. Substituindo u,u^{\prime},v,v^{\prime}:
\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{2-x}{x^{2}+3x} +(2\sqrt{x}+1)\cdot\frac{x^{2}-4x-6}{(x^{2}+3x)^{2}}. \end{aligned}
Posso reescrever a primeira parcela de forma clara:
\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{2-x}{x^{2}+3x}=\frac{2-x}{\sqrt{x}\,(x^{2}+3x)}.
Assim uma forma final conveniente para a derivada é
f^{\prime}(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}\,(x^{2}+3x)}+\frac{(2\sqrt{x}+1)(x^{2}-4x-6)}{(x^{2}+3x)^{2}},
válida para x>0 (onde a função original está definida).

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}\,(x^{2}+3x)}+\frac{(2\sqrt{x}+1)(x^{2}-4x-6)}{(x^{2}+3x)^{2}}

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