Encontre os valores de \lambda que fazem as matrizes com linhas linearmente dependentes
A=\left[\begin{array}{cc} \lambda-2 & 1 \\\\ -5 & \lambda+4 \end{array}\right] ; \quad B=\left[\begin{array}{ccc} \lambda-4 & 4 & 0 \\\\ -1 & \lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & \lambda-5 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
  • Pede: encontrar os valores de \lambda que fazem com que as linhas de cada matriz sejam linearmente dependentes.\n
  • Matrizes fornecidas:
A=\begin{bmatrix} \lambda-2 & 1\\[4pt] -5 & \lambda+4 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} \lambda-4 & 4 & 0\\[4pt] -1 & \lambda & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda-5 \end{bmatrix}.]

Passo 2

Entender o teste prático que vamos usar (explicação curta e necessária): para uma matriz quadrada, as linhas são linearmente dependentes exatamente quando a matriz não tem posto máximo. Para matrizes quadradas isso equivale a dizer que o determinante da matriz é zero. Ou seja, basta calcular \det(A) e \det(B) e achar os \lambda que anulam esses determinantes.
Explicando a fórmula usada: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix},
o determinante é \det=\;ad-bc. Isso é fácil de aplicar em A.

Passo 3

Calcular \det(A) passo a passo:\n
\det(A)=(\lambda-2)(\lambda+4)-1\cdot(-5).
Multiplicando os termos:
(\lambda-2)(\lambda+4)=\lambda^2+4\lambda-2\lambda-8=\lambda^2+2\lambda-8.
Somando o +5 (porque subtraímos -5):
\det(A)=\lambda^2+2\lambda-8+5=\lambda^2+2\lambda-3.
Fatorando o polinômio quadrático:
\lambda^2+2\lambda-3=(\lambda+3)(\lambda-1).
Portanto \det(A)=0 quando \lambda=-3 ou \lambda=1.

Passo 4

Interpretação para A (didática): quando \lambda=-3 ou \lambda=1 o determinante de A é zero, isto é, as duas linhas de A ficam linearmente dependentes — geometricamente, uma linha é múltiplo da outra ou uma combinação linear nula existe não trivialmente.

Passo 5

Agora para B. Observação da forma de B: a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras linhas e o terceiro elemento da diagonal é \lambda-5. Isso faz de B uma matriz em bloco (ou triangular por blocos), então o determinante de B é o produto do determinante do bloco 2\times2 do canto superior esquerdo pela entrada \lambda-5. Em fórmula:
\det(B)=(\lambda-5)\cdot\det\begin{bmatrix}\lambda-4 & 4 \\\\ -1 & \lambda\end{bmatrix}.
Calcule o determinante do 2\times2:
\det\begin{bmatrix}\lambda-4 & 4 \\\\ -1 & \lambda\end{bmatrix}=(\lambda-4)\lambda - 4\cdot(-1)=\lambda^2-4\lambda+4.
Reconhece-se um quadrado perfeito:
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Logo
\det(B)=(\lambda-5)(\lambda-2)^2.
Portanto \det(B)=0 quando \lambda=5 ou \lambda=2 (no caso \lambda=2 a raiz tem multiplicidade 2, mas continua fazendo o determinante zero).

Passo 6

Interpretação para B (didática e exemplos):\n
  • Se \lambda=5 a terceira linha fica (0,0,0) — vetor nulo — então as linhas são claramente linearmente dependentes. \n
  • Se \lambda=2 o bloco 2\times2 superior fica singular (tem determinante zero), ou seja, as duas primeiras linhas são dependentes; mesmo que a terceira linha não seja nula, a dependência entre as duas primeiras já garante dependência entre as três linhas (posto <3).\n
    Assim os valores encontrados são corretos e completos.

Resposta

A:\\ \lambda=-3,\\\ 1\n
B:\\ \lambda=2,\\\ 5

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