Entender o teste prático que vamos usar (explicação curta e necessária): para uma matriz quadrada, as linhas são linearmente dependentes exatamente quando a matriz não tem posto máximo. Para matrizes quadradas isso equivale a dizer que o determinante da matriz é zero. Ou seja, basta calcular \det(A) e \det(B) e achar os \lambda que anulam esses determinantes.
Explicando a fórmula usada: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix},
o determinante é \det=\;ad-bc. Isso é fácil de aplicar em A.
Portanto \det(A)=0 quando \lambda=-3 ou \lambda=1.
Passo 4
Interpretação para A (didática): quando \lambda=-3 ou \lambda=1 o determinante de A é zero, isto é, as duas linhas de A ficam linearmente dependentes — geometricamente, uma linha é múltiplo da outra ou uma combinação linear nula existe não trivialmente.
Passo 5
Agora para B. Observação da forma de B: a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras linhas e o terceiro elemento da diagonal é \lambda-5. Isso faz de B uma matriz em bloco (ou triangular por blocos), então o determinante de B é o produto do determinante do bloco 2\times2 do canto superior esquerdo pela entrada \lambda-5. Em fórmula:
Portanto \det(B)=0 quando \lambda=5 ou \lambda=2 (no caso \lambda=2 a raiz tem multiplicidade 2, mas continua fazendo o determinante zero).
Passo 6
Interpretação para B (didática e exemplos):\n
Se \lambda=5 a terceira linha fica (0,0,0) — vetor nulo — então as linhas são claramente linearmente dependentes. \n
Se \lambda=2 o bloco 2\times2 superior fica singular (tem determinante zero), ou seja, as duas primeiras linhas são dependentes; mesmo que a terceira linha não seja nula, a dependência entre as duas primeiras já garante dependência entre as três linhas (posto <3).\n
Assim os valores encontrados são corretos e completos.