O enunciado pede para calcular o determinante de seis matrizes: A,B,C,D,E,F. Vou listar aqui cada matriz explicitamente (peguei-as do enunciado) e deixar claro que a pergunta é: “qual é o determinante de cada uma delas?”:
Definição prática e caso 2\times2. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
usa-se a fórmula direta
\det = ad-bc.
Isto vem da definição de determinante para 2\times2 e é a coisa mais rápida em prova.
Aplicando a A: a=3,\; b=1,\; c=4,\; d=-2. Então
\det(A)=3\cdot(-2)-1\cdot4=-6-4=-10.
Interpretação curta: o determinante de A é -10.]
Passo 3
Observação útil sobre matrizes 2\times2 e matrizes em geral: se uma coluna (ou linha) é múltiplo escalar exato da outra, então o determinante é zero, pois as colunas ficam linearmente dependentes.
Veja B:
B=\begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]7 & 21\end{pmatrix}.
Compare as colunas: a segunda coluna é exatamente 3 vezes a primeira, pois
Logo a segunda linha é exatamente 2{,}1 vezes a primeira:
\text{linha}_2 = 2{,}1\cdot \text{linha}_1.
Portanto as linhas são linearmente dependentes e
\det(D)=0.]
Passo 6
Estratégia para 4\times4: usar operações de linha que preservam determinante (ou modificam de forma conhecida) para reduzir a matriz a uma forma triangular ou a um bloco menor. Lembretes importantes:
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (\det muda de sinal).
Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Fator constante multiplicando uma linha multiplica o determinante por esse constante (usar com cuidado).
Vou calcular \det(E) com eliminação (mostrando todos os passos numéricos) para ficar fácil de fazer à mão.
Para ter um pivô 1 na posição (1,1) troco a linha 1 com a linha 2. Essa troca inverte o sinal do determinante:
troca: \text{L}_1\leftrightarrow\text{L}_2. A matriz fica
Observe as linhas \text{L}_2,\text{L}_3,\text{L}_4:
\text{L}_3=(1,3,1,2).
Multiplicando \text{L}_3 por 2 obtém-se \text{L}_2:
2\cdot\text{L}_3=(2,6,2,4)=\text{L}_2.
Multiplicando \text{L}_3 por 4 obtém-se \text{L}_4:
4\cdot\text{L}_3=(4,12,4,8)=\text{L}_4.
Assim \text{L}_2 e \text{L}_4 são múltiplos de \text{L}_3, o que implica que pelo menos três linhas estão colineares num mesmo subespaço; em particular as linhas são linearmente dependentes. Portanto