Calcule o determinante das seguintes matrizes:
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{cc} 2 & 6 \\\\ 7 & 21 \end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -4 & 5 & 6 \\\\ 7 & -8 & 9 \end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 2 \\\\ 6.3 & 10.5 & 4.2 \\\\ -0.9 & -7 & 0.8 \end{array}\right] \\\ E=\left[\begin{array}{llll} 0 & 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{array}\right] ; F=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 6 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & 12 & 4 & 8 \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de seis matrizes: A,B,C,D,E,F. Vou listar aqui cada matriz explicitamente (peguei-as do enunciado) e deixar claro que a pergunta é: “qual é o determinante de cada uma delas?”:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & 6 \\[4pt] 7 & 21\end{pmatrix},
C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] -4 & 5 & 6 \\[4pt] 7 & -8 & 9\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}3 & 5 & 2 \\[4pt] 6{,}3 & 10{,}5 & 4{,}2 \\[4pt] -0{,}9 & -7 & 0{,}8\end{pmatrix},
E=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}0 & 3 & 1 & 2 \\[4pt] 2 & 6 & 2 & 4 \\[4pt] 1 & 3 & 1 & 2 \\[4pt] 4 & 12 & 4 & 8\end{pmatrix}.
Pergunta: calcular \det(A),\det(B),\det\text{(C)},\det(D),\det(E),\det(F).]

Passo 2

Definição prática e caso 2\times2. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
usa-se a fórmula direta
\det = ad-bc.
Isto vem da definição de determinante para 2\times2 e é a coisa mais rápida em prova.
Aplicando a A: a=3,\; b=1,\; c=4,\; d=-2. Então
\det(A)=3\cdot(-2)-1\cdot4=-6-4=-10.
Interpretação curta: o determinante de A é -10.]

Passo 3

Observação útil sobre matrizes 2\times2 e matrizes em geral: se uma coluna (ou linha) é múltiplo escalar exato da outra, então o determinante é zero, pois as colunas ficam linearmente dependentes.
Veja B:
B=\begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]7 & 21\end{pmatrix}.
Compare as colunas: a segunda coluna é exatamente 3 vezes a primeira, pois
\begin{pmatrix}6\\[4pt]21\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Como uma coluna é múltiplo escalar da outra, as colunas são linearmente dependentes e, portanto,
\det(B)=0.]

Passo 4

Regra prática para 3\times3 (método de Sarrus). Para
M=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\[4pt] m_{21} & m_{22} & m_{23}\\[4pt] m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix},
uma forma eficiente é o método de Sarrus:
\det(M)=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32} -(m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}).
Esse método é uma forma condensada de expandir por diagonais para 3\times3.
Aplique em C:
C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] -4 & 5 & 6 \\[4pt] 7 & -8 & 9\end{pmatrix}.
Calcule as somas dos produtos das diagonais:
  • Produtos na “direção principal”:
1\cdot5\cdot9 =45,\qquad 2\cdot6\cdot7=84,\qquad 3\cdot(-4)\cdot(-8)=3\cdot32=96.
Soma destes: 45+84+96=225.
  • Produtos na “direção contrária”:
3\cdot5\cdot7=105,\qquad 1\cdot6\cdot(-8)=-48,\qquad 2\cdot(-4)\cdot9=-72.
Soma destes: 105-48-72= -15.
Subtraindo:
\det\text{(C)}=225-(-15)=225+15=240.]

Passo 5

Propriedade sobre linhas proporcionais: se uma linha é múltiplo escalar exato de outra, o determinante é zero.
Veja D:
D=\begin{pmatrix}3 & 5 & 2 \\[4pt] 6{,}3 & 10{,}5 & 4{,}2 \\[4pt] -0{,}9 & -7 & 0{,}8\end{pmatrix}.
Compare a segunda linha com a primeira. Calcule a razão elemento a elemento:
\frac{6{,}3}{3}=2{,}1,\qquad \frac{10{,}5}{5}=2{,}1,\qquad \frac{4{,}2}{2}=2{,}1.
Logo a segunda linha é exatamente 2{,}1 vezes a primeira:
\text{linha}_2 = 2{,}1\cdot \text{linha}_1.
Portanto as linhas são linearmente dependentes e
\det(D)=0.]

Passo 6

Estratégia para 4\times4: usar operações de linha que preservam determinante (ou modificam de forma conhecida) para reduzir a matriz a uma forma triangular ou a um bloco menor. Lembretes importantes:
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante ( \det muda de sinal).
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Fator constante multiplicando uma linha multiplica o determinante por esse constante (usar com cuidado).
Vou calcular \det(E) com eliminação (mostrando todos os passos numéricos) para ficar fácil de fazer à mão.
Começo com
E=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Para ter um pivô 1 na posição (1,1) troco a linha 1 com a linha 2. Essa troca inverte o sinal do determinante:
troca: \text{L}_1\leftrightarrow\text{L}_2. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & 3 \\[4pt] 3 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix},
e o determinante da nova matriz é -\det(E).
Agora elimino as entradas abaixo do pivô 1 na coluna 1 usando operações que não mudam o determinante:
  • \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 3\text{L}_1:
\text{L}_3 = (3,1,0,1)-3(1,0,4,2)=(0,1,-12,-5).
  • \text{L}_4 \leftarrow \text{L}_4 - 2\text{L}_1:
\text{L}_4 = (2,3,1,0)-2(1,0,4,2)=(0,3,-7,-4).
A matriz triangularizada parcialmente fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & -12 & -5 \\[4pt] 0 & 3 & -7 & -4 \end{pmatrix}.
Como estas operações foram do tipo \text{L}_i \leftarrow \text{L}_i - k\text{L}_j, elas não alteram o determinante. Então
\det(E) = -\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & -12 & -5 \\[4pt] 3 & -7 & -4 \end{pmatrix},
onde extraí o bloco 3\times3 das colunas 2,3,4 e linhas 2,3,4.
Calcule agora o determinante desse 3\times3 (vou chamá-lo de M):
M=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & -12 & -5 \\[4pt] 3 & -7 & -4\end{pmatrix}.
Uso fórmula de 3\times3 (Sarrus/expansão). Primeiro os produtos “para frente”:
2\cdot(-12)\cdot(-4)=2\cdot48=96, \qquad 1\cdot(-5)\cdot3=-15, \qquad 3\cdot1\cdot(-7)=-21.
Soma: 96-15-21=60.
Agora os produtos “para trás”:
3\cdot(-12)\cdot3=-108,\qquad 2\cdot(-5)\cdot(-7)=2\cdot35=70,\qquad 1\cdot1\cdot(-4)=-4.
Soma: -108+70-4=-42.
Subtraindo (forward minus backward):
\det(M)=60-(-42)=60+42=102.
Portanto \det(E) = -\det(M) = -102.]

Passo 7

Última matriz F. Novamente, se houver dependência linear (linhas ou colunas proporcionais entre si), o determinante é zero.
Dados:
F=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 & 2 \\[4pt] 2 & 6 & 2 & 4 \\[4pt] 1 & 3 & 1 & 2 \\[4pt] 4 & 12 & 4 & 8 \end{pmatrix}.
Observe as linhas \text{L}_2,\text{L}_3,\text{L}_4:
\text{L}_3=(1,3,1,2).
Multiplicando \text{L}_3 por 2 obtém-se \text{L}_2:
2\cdot\text{L}_3=(2,6,2,4)=\text{L}_2.
Multiplicando \text{L}_3 por 4 obtém-se \text{L}_4:
4\cdot\text{L}_3=(4,12,4,8)=\text{L}_4.
Assim \text{L}_2 e \text{L}_4 são múltiplos de \text{L}_3, o que implica que pelo menos três linhas estão colineares num mesmo subespaço; em particular as linhas são linearmente dependentes. Portanto
\det(F)=0.]

Resposta

\det(A)=-10
\det(B)=0
\det\text{(C)}=240
\det(D)=0
\det(E)=-102
\det(F)=0

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