Qual o maior número de 0 que uma matriz 3 \times 3 pode ter sem possuir um determinante igual a 0 ?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o maior número de zeros que uma matriz 3\times3 pode ter sem que seu determinante seja igual a 0. Informações dadas e o que precisamos considerar:
A matriz é de ordem 3\times3 (ou seja, tem 9 entradas no total).
Queremos que o determinante seja diferente de 0 (matriz invertível).
Precisamos encontrar o máximo possível de entradas iguais a 0 sob essa condição.
Passo 2
Lembrete sobre a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3. Se a matriz é
Cada termo é o produto de três entradas, uma em cada linha e uma em cada coluna (corresponde a uma permutação das colunas).]
Passo 3
Observação simples e útil: cada um dos termos que compõem \det(A) é um produto de exatamente três entradas distintas da matriz, com uma em cada linha e uma em cada coluna. Logo, se houver menos de 3 entradas não nulas na matriz, então todo produto de três entradas tem pelo menos um fator zero, e portanto todas as parcelas da soma do determinante são zero, resultando em \det(A)=0.
Conclusão parcial: é impossível ter uma matriz invertível com menos de 3 entradas não nulas. Portanto o número de zeros não pode ser maior que 9-3=6 se quisermos \det(A)\neq0.
Passo 4
Agora vemos se é possível ter exatamente 3 entradas não nulas e ainda assim obter \det(A)\neq0. Para que exista ao menos um dos termos da fórmula do determinante não nulo, essas três entradas não nulas precisam estar em linhas distintas e em colunas distintas — isto é, formarem um “permuto” (uma transversal) que corresponda a uma das permutações usadas no determinante. Se as três entradas não nulas estiverem, por exemplo, todas na mesma linha ou repetirem coluna, então qualquer produto que ocupe uma entrada de cada linha e coluna terá pelo menos um zero, e o determinante será zero.
Exemplo concreto que funciona: a matriz identidade
tem exatamente 3 entradas não nulas e 6 entradas iguais a 0, e \det(I_3)=1\neq0. Assim, é possível ter 6 zeros e determinante não nulo.]
Passo 5
Verificação final das possibilidades maiores de zeros:
Se houvesse 7 zeros, sobrariam apenas 2 entradas não nulas: já vimos que com menos de 3 entradas não nulas o determinante é necessariamente 0.
Com 8 zeros ou 9 zeros a situação é ainda pior (apenas 1 ou 0 entradas não nulas), logo \det(A)=0.
Portanto não é possível ter mais do que 6 zeros mantendo o determinante diferente de zero.