Encontre o posto das matrizes a seguir:
A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ -2 & -1 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede o seu posto. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Matriz dada:
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ -2 & -1 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4 \end{bmatrix}.
  • A matriz tem 4 linhas e 5 colunas (dimensão 4\times5).
  • O que se pede: encontrar o posto de A, isto é, \emph{o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes}.

Passo 2

Breve aula prática sobre o que vamos usar (não é teoria pesada, só o que serve aqui).
  • O posto de uma matriz pode ser encontrado pela forma escalonada por linhas: o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é o posto.
  • Operações elementares por linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) não mudam o espaço linha nem o posto. Por isso podemos usar eliminação de Gauss com segurança.
  • Objetivo: aplicar operações por linha até obter uma forma em que fique claro quantos pivôs existem.

Passo 3

Escrevo a matriz inicial para referência e escolho R_1 como primeira linha-pivô (tem 1 na coluna 1, ótimo pivô):
A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ -2 & -1 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4 \end{bmatrix}.
Faço a operação que zera o elemento -2 em posição (3,1): R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos R_3 + 2R_1:
  • primeira entrada: -2 + 2\cdot 1 = 0,
  • segunda: -1 + 2\cdot 0 = -1,
  • terceira: 1 + 2\cdot(-2) = 1 - 4 = -3,
  • quarta: -1 + 2\cdot 1 = 1,
  • quinta: 3 + 2\cdot 0 = 3.
Assim a matriz vira
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4 \end{bmatrix}.

Passo 4

Observe algo importante: a nova terceira linha é idêntica à segunda linha. Isso já indica dependência entre linhas, mas prossigamos com eliminação para contar pivôs com segurança.
Escolho a segunda linha como pivô para a coluna 2. Para ficar mais confortável, multiplico R_2 por -1 para obter pivô 1:
R_2 \leftarrow -R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & -3 \\\\ 0 & -1 & -3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4 \end{bmatrix}.

Passo 5

Agora uso o pivô em R_2 para zerar as entradas nas outras linhas da coluna 2.
  • Para R_3: R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
    Calculemos: R_3 + R_2 = [0,0,0,0,0]. Então R_3 vira linha nula.
  • Para R_4: R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
    Calculemos componente a componente: [0,1,3,0,-4] - [0,1,3,-1,-3] = [0,0,0,1,-1].
Aplicando essas operações obtemos
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

Passo 6

Agora a matriz está quase em forma escalonada clara. Identifiquemos as linhas não nulas e seus pivôs:
  • R_1 = [1\; 0\; -2\; 1\; 0] tem pivô na coluna 1.
  • R_2 = [0\; 1\; 3\; -1\; -3] tem pivô na coluna 2.
  • R_4 = [0\; 0\; 0\; 1\; -1] tem pivô na coluna 4.
  • R_3 é linha nula.
Cada linha não nula tem um pivô em coluna distinta ( 1,2,4). Logo há exatamente 3 pivôs.

Passo 7

Se for útil, podemos limpar os coeficientes acima do pivô de R_4 para ver independência explícita (operação opcional, não muda o posto):
  • Zerando a coluna 4 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_4 R_1'=[1\;0\;-2\;0\;1].
  • Zerando a coluna 4 em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + R_4 R_2'=[0\;1\;3\;0\;-4].
Matriz resultante (opcional):
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
Fica ainda mais claro que as três linhas não nulas são linearmente independentes (pivôs em colunas diferentes).

Passo 8

Conclusão e interpretação final:
  • O número de linhas não nulas (ou número de pivôs) na forma escalonada é 3.
  • Portanto o posto da matriz A é 3.
  • Observação útil: como A tem 5 colunas, o espaço nulo dos vetores-coluna tem dimensão 5-3=2 (teorema do posto-nulidade), se for relevante na prova.

Resposta

\text{posto}(A)=3

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