Encontre os valores dos limites (podem não existir):
lim (x, y) (0,0) x^5(1+y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=x^5l(1+y^2r)l(x^2+y^2r)^2
quando (x,y)to(0,0). O tema é limites em duas variáveis e uma boa estratégia é usar coordenadas polares para ver se o valor depende do ângulo de aproximação.

Passo 2

Introduzimos coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi). Então x^2+y^2=r^2 e ao mesmo tempo rto0 equivale a (x,y)to(0,0).

Passo 3

Substituindo em f(x,y) obtemos
f(r,theta) =(rcostheta)^5l(1+(rsintheta)^2r)l(r^2r)^2 =r^5cos^5theta,(1+r^2sin^2theta)r^4 =r,cos^5theta,(1+r^2sin^2theta)

Passo 4

Para qualquer theta fixo, quando rto0 temos
r,cos^5theta,(1+r^2sin^2theta);longrightarrow;0
porque rto0 e o fator cos^5theta,(1+r^2sin^2theta) é limitado. Logo o valor de f(r,theta) não depende do ângulo e tende a 0 sempre que rto0.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)x^5(1+y^2)(x^2+y^2)^2=0

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