Encontre os valores m e n para os quais a reta de equação
(m+2 n-3) x+(2 m-n+1) y+(6 m+9)=0
é paralela ao eixo X e interseta ao eixo Y no ponto (0,-3).

Passo 1

O enunciado dá a reta
(m+2n-3),x + (2m-n+1),y + (6m+9) = 0
e pede os valores de m e n para que ela seja paralela ao eixo X (ou seja, horizontal) e corte o eixo Y em (0,-3). Para isso vamos usar:
  1. Uma reta horizontal tem coeficiente de x igual a zero.
  2. O ponto onde a reta intercepta o eixo Y é obtido fazendo x=0 na equação e igualando o resultado a y=-3.

Passo 2

Impor que a reta seja horizontal significa anular o coeficiente de x. Assim,
m + 2n - 3 = 0
Daí isolamos m:
m = 3 - 2n

Passo 3

Agora usamos a condição do intercepto em y. Para x=0, a equação vira
(2m - n + 1),y + (6m + 9) = 0
e queremos que o correspondente y seja -3. Logo
-(6m + 9)/(2m - n + 1) = -3 Longrightarrow 6m + 92m - n + 1 = 3

Passo 4

Substituímos m = 3 - 2n na equação do intercepto:
6(3 - 2n) + 9 = 3l[2(3 - 2n) - n + 1r]
Calculando cada lado:
6cdot3 - 12n + 9 = 18 - 12n + 9 = 27 - 12n,
2(3 - 2n) - n + 1 = 6 - 4n - n + 1 = 7 - 5n,
então
27 - 12n = 3(7 - 5n) = 21 - 15n
Passando termos,
27 - 12n = 21 - 15n Longrightarrow 27 - 21 = -15n + 12n Longrightarrow 6 = -3n Longrightarrow n = -2

Passo 5

Com n = -2, voltamos em m = 3 - 2n:
m = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7
Além disso, o coeficiente de y na reta é 2m - n + 1 = 2cdot7 - (-2) + 1 = 17neq0, garantindo que a reta seja de fato horizontal e tenha intercepto bem definido.

Resposta

m = 7 e n = -2.

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