Desde o ponto (2,-3) traçamos uma perpendicular à reta de equação L: 3 x-4 y+6=0. A que distância encontra-se dita perpendicular do ponto (6,8) ?

Passo 1

O enunciado dá o ponto (2,-3) e a reta
L:3x-4y+6=0
e pede a distância do ponto (6,8) à reta que é perpendicular a L e passa por (2,-3). Vamos usar vetores normais, equação geral de reta e fórmula de distância de ponto a reta.

Passo 2

A reta L tem vetor normal vec n=(3,-4). A reta perpendicular a L terá vetor diretor paralelo a vec n, isto é,
vec d=(3,-4). Para escrever sua equação em forma geral precisamos de um vetor normal a ela, que seja ortogonal a vec d. Tomamos, por exemplo,
vec N=(4,3), pois
vec dcdotvec N=3cdot4+(-4)cdot3=0.

Passo 3

Usando o ponto (2,-3) e o vetor normal vec N=(4,3), a forma ponto-normal da reta perpendicular é
4(x-2)+3l(y+3r)=0,
que se expande para a forma geral
4x+3y+1=0

Passo 4

A distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0 é
l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2+b^2
Aqui a=4, b=3, c=1 e (x0,y0)=(6,8). Logo
dist = l|4cdot6 + 3cdot8 + 1r|raiz4^2+3^2 = l|24 + 24 + 1r|5 = 495

Resposta

A distância pedida é tfrac495.

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