Encontre os valores máximo absoluto e mínimo absoluto da função
f(x, y)=2 x+6 y-x y-y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2x+6y-xy-y^{2}
e pede os valores máximo absoluto e mínimo absoluto de f (ou seja, máximos e mínimos globais na função definida em todo o plano \mathbb{R}^{2}). Informações relevantes fornecidas:
\text{função } f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=2x+6y-xy-y^{2}.çã
Não há restrição no domínio (podemos escolher qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Vamos procurar pontos críticos por meio dos derivadas parciais. Uma explicação rápida: um ponto crítico é onde o gradiente (vetor das derivadas parciais) é zero; esses pontos são candidatos a extremos locais. Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_{x}=2-y,
\frac{\partial f}{\partial y}=f_{y}=6-x-2y.
Aqui f_{x} é a taxa de variação de f quando mudamos x mantendo y fixo, e f_{y} é a taxa de variação quando mudamos y mantendo x fixo.

Passo 3

Impondo o sistema \;f_{x}=0,\;f_{y}=0\; para achar pontos críticos:
2-y=0\quad\Rightarrow\quad y=2,
substituindo em f_{y}=0:
6-x-2\cdot 2=0\quad\Rightarrow\quad 6-x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=2.
Logo o único ponto crítico é (2,2). Avaliando f nesse ponto:
f(2,2)=2\cdot 2+6\cdot 2-(2)(2)-2^{2}=4+12-4-4=8.
Portanto o ponto crítico (2,2) tem valor f=8.

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico usando as segundas derivadas (teste da matriz Hessiana). Explico: a Hessiana reúne as segundas derivadas e nos ajuda a decidir se o ponto é mínimo, máximo ou sela. As segundas derivadas são:
f_{xx}=0,\qquad f_{xy}=f_{yx}=-1,\qquad f_{yy}=-2.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
O determinante associado (usado no teste) é
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=0\cdot(-2)-(-1)^{2}=-1.
Como D<0, a Hessiana é indefinida em (2,2) e o ponto é um ponto de sela (saddle point) — ou seja, não é nem máximo local nem mínimo local. Em palavras: perto de (2,2) existem direções em que f aumenta e direções em que f diminui.

Passo 5

Mesmo sendo ponto de sela, precisamos dizer se existe máximo absoluto ou mínimo absoluto. Para isso é suficiente verificar se f é limitada ou não. Observe uma maneira simples: fixe y=0. Então
f(x,0)=2x.
Como 2x pode ficar arbitrariamente grande ao deixar x\to+\infty e arbitrariamente pequeno ao deixar x\to-\infty, concluímos que f é ilimitada tanto acima quanto abaixo. Em particular não existe valor máximo finito (pois f\to+\infty ao longo de y=0,\;x\to+\infty) e não existe mínimo finito (pois f\to-\infty ao longo de y=0,\;x\to-\infty).

Passo 6

Comentário útil para a prova (não é um extremo absoluto): ao longo da reta y=2 temos f(x,2)=8 para todo x, ou seja, a função assume o valor 8 em toda a reta y=2 (incluindo o ponto crítico (2,2)), mas esse valor não é máximo nem mínimo absoluto porque a função é ilimitada em ambas as direções.

Resposta

Não existe máximo absoluto.
Não existe mínimo absoluto.

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