1. Seja x(u)=3 u^{2}+u e y(u)=\ln \left(u^{2}+1\right).
    (a) Calcule \frac{d x}{d u} e \frac{d y}{d u} em termo de u.
    (b) Se x=x(u) e y=y(u). Fazendo F(u)=f(x(u), y(u)), expresse F^{\prime}(u) em termo de u e das derivadas parciais de f.
    (c) Considerando f(x, y)=x^{2} e^{x+y} e os cálculos feitos no item anterior, calcule F^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá as funções
x(u)=3u^{2}+u
e
y(u)=\ln\left(u^{2}+1\right),
e pede três coisas separadas:
(a) Calcular \dfrac{dx}{du} e \dfrac{dy}{du} em termos de u.
(b) Se x=x(u) e y=y(u) e F(u)=f(x(u),y(u)), expressar F'(u) em termos de u e das derivadas parciais de f.
(c) Tomando f(x,y)=x^{2}e^{x+y} e usando o item anterior, calcular F'(1).
As informações relevantes que temos: as fórmulas de x(u) e y(u) dadas acima, a definição de F(u) via composição f(x(u),y(u)), e a forma explícita de f no item (c).

Passo 2

Vamos fazer (a): derivar x(u) e y(u) passo a passo, com explicação.
Regra usada para x(u): regra do poder (power rule). Se g(u)=u^{n} então g'(u)=n u^{n-1}. Para soma, derivada é soma das derivadas.
Aplicando em x(u)=3u^{2}+u:
  • A derivada de 3u^{2} é 3\cdot 2u=6u.
  • A derivada de u é 1.
    Portanto
\frac{dx}{du}=6u+1.
Regra usada para y(u)=\ln(h(u)): derivada da função logarítmica composta é \dfrac{d}{du}\ln(h(u))=\dfrac{h'(u)}{h(u)}.
Aqui h(u)=u^{2}+1 e h'(u)=2u. Assim
\frac{dy}{du}=\frac{2u}{u^{2}+1}.

Passo 3

Explicando o que precisamos no (b): se F(u)=f(x(u),y(u)) temos uma composição entre uma função de duas variáveis f(x,y) e curvas x(u),y(u). A regra que usamos é a regra da cadeia para funções multivariáveis:
Se f é diferenciável, então
F'(u)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(u),y(u)\big)\cdot \frac{dx}{du} \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(u),y(u)\big)\cdot \frac{dy}{du}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) (lê-se “f parcial em x”) é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; análogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}. A interpretação: uma variação em u muda x e y; a contribuição total em f é a soma das contribuições vindas da variação em x e da variação em y.

Passo 4

Aplicando a fórmula da cadeia e substituindo as derivadas calculadas no Passo 2, obtemos a expressão pedida no item (b):
F'(u)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(u),y(u)\big)\,(6u+1) \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(u),y(u)\big)\,\frac{2u}{u^{2}+1}.
Isto já está em termos de u e das derivadas parciais de f, como o enunciado pediu.

Passo 5

Agora fazemos (c): com f(x,y)=x^{2}e^{x+y} precisamos das derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante e derive em relação a x. Use regra do produto e cadeia (derivada de e^{x+y} em relação a x é e^{x+y}):
  • Derivada de x^{2} é 2x, então a primeira parcela é 2x\cdot e^{x+y}.
  • Depois somamos x^{2} vezes derivada de e^{x+y} que é e^{x+y}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=(2x+x^{2})\,e^{x+y}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante; só há a função e^{x+y} dependente de y, cuja derivada é e^{x+y}. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}\,e^{x+y}.

Passo 6

Vamos avaliar tudo em u=1. Primeiro computamos x(1), y(1), x'(1), y'(1):
  • x(1)=3\cdot 1^{2}+1=3+1=4.
  • y(1)=\ln(1^{2}+1)=\ln 2.
  • x'(1)=6\cdot 1+1=7. (usando \dfrac{dx}{du}=6u+1)
  • y'(1)=\dfrac{2\cdot 1}{1^{2}+1}=\dfrac{2}{2}=1. (usando \dfrac{dy}{du}=\dfrac{2u}{u^{2}+1})
Agora avaliamos as parciais em (x,y)=(4,\ln 2).
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(4,\ln 2):
\frac{\partial f}{\partial x}(4,\ln 2)=(2\cdot 4+4^{2})\,e^{4+\ln 2}=(8+16)\,e^{4+\ln 2}=24\,e^{4+\ln 2}.
Usamos e^{4+\ln 2}=e^{4}e^{\ln 2}=e^{4}\cdot 2, então
\frac{\partial f}{\partial x}(4,\ln 2)=24\cdot 2\,e^{4}=48\,e^{4}.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(4,\ln 2):
\frac{\partial f}{\partial y}(4,\ln 2)=4^{2}\,e^{4+\ln 2}=16\cdot 2\,e^{4}=32\,e^{4}.

Passo 7

Finalmente aplicamos a fórmula da cadeia numérica:
F'(1)=\frac{\partial f}{\partial x}(4,\ln 2)\,x'(1)+\frac{\partial f}{\partial y}(4,\ln 2)\,y'(1).
Substituindo os valores:
F'(1)=(48\,e^{4})\cdot 7 + (32\,e^{4})\cdot 1 =336\,e^{4}+32\,e^{4}=368\,e^{4}.

Resposta

(a) \dfrac{dx}{du}=6u+1,\quad \dfrac{dy}{du}=\dfrac{2u}{u^{2}+1}
(b) F'(u)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\big(x(u),y(u)\big)(6u+1)+\dfrac{\partial f}{\partial y}\big(x(u),y(u)\big)\dfrac{2u}{u^{2}+1}
(c) F'(1)=368\,e^{4}

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