- Seja
e
.
(a) Calcule
e
em termo de
.
(b) Se
e
. Fazendo
, expresse
em termo de
e das derivadas parciais de
.
(c) Considerando
e os cálculos feitos no item anterior, calcule
.
(a) Calcule
(b) Se
(c) Considerando
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede três coisas separadas:
(a) Calcular e
em termos de
.
(b) Se e
e
, expressar
em termos de
e das derivadas parciais de
.
(c) Tomando e usando o item anterior, calcular
.
(a) Calcular
(b) Se
(c) Tomando
As informações relevantes que temos: as fórmulas de
e
dadas acima, a definição de
via composição
, e a forma explícita de
no item (c).
Passo 2
Vamos fazer (a): derivar
e
passo a passo, com explicação.
Regra usada para
: regra do poder (power rule). Se
então
. Para soma, derivada é soma das derivadas.
Aplicando em
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto
Regra usada para
: derivada da função logarítmica composta é
.
Aqui
e
. Assim
Passo 3
Explicando o que precisamos no (b): se
temos uma composição entre uma função de duas variáveis
e curvas
. A regra que usamos é a regra da cadeia para funções multivariáveis:
Se
é diferenciável, então
Aqui
(lê-se “f parcial em x”) é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo; análogamente para
. A interpretação: uma variação em
muda
e
; a contribuição total em
é a soma das contribuições vindas da variação em
e da variação em
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da cadeia e substituindo as derivadas calculadas no Passo 2, obtemos a expressão pedida no item (b):
Isto já está em termos de
e das derivadas parciais de
, como o enunciado pediu.
Passo 5
Agora fazemos (c): com
precisamos das derivadas parciais
e
.
Calcule
: trate
como constante e derive em relação a
. Use regra do produto e cadeia (derivada de
em relação a
é
):
- Derivada de
é , então a primeira parcela é . - Depois somamos
vezes derivada de que é .
Portanto
Calcule
: trate
como constante; só há a função
dependente de
, cuja derivada é
. Assim
Passo 6
Vamos avaliar tudo em
. Primeiro computamos
,
,
,
:
-
-
-
(usando ) -
(usando )
Agora avaliamos as parciais em
.
Para
:
Usamos
, então
Para
:
Passo 7
Finalmente aplicamos a fórmula da cadeia numérica:
Substituindo os valores:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)