Para as funções a seguir, estude a concavidade, e determine os pontos de inflexão (se houver).
f(x)=x \ln (x).

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a concavidade da função e determine os pontos de inflexão (se houver) para a função \;f(x)=x\ln(x).\n
Informações dadas:
  • A função é \;f(x)=x\ln(x).
  • É preciso achar onde a função é côncava para cima/para baixo e onde (se houver) ocorrem pontos de inflexão.
  • Observação importante: o logaritmo natural \ln(x) só está definido para \;x>0. Portanto o domínio natural da função é \;(0,\infty).

Passo 2

Vou explicar o método passo a passo (sem pressupor que você já sabe):
  • Regra prática: a concavidade de uma função é determinada pelo sinal da segunda derivada. Se a segunda derivada for positiva num intervalo, a função é côncava para cima (às vezes diz-se “convexa”) ali. Se for negativa, é côncava para baixo.
  • Ponto de inflexão: é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Um teste conveniente é: um candidato a ponto de inflexão é um ponto onde a segunda derivada é zero ou não existe; depois é preciso verificar que o sinal da segunda derivada realmente muda ao atravessar o ponto.
  • Para aplicar, primeiro calculamos as derivadas de \;f: a primeira derivada \;f'(x) e a segunda derivada \;f''(x). Em seguida analisamos o sinal de \;f''(x) em todo o domínio.

Passo 3

Calcular \;f'(x) usando a regra do produto. Lembrete da regra do produto: se \;u(x) e \;v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolha u(x)=x e v(x)=\ln(x). Então u'(x)=1 e v'(x)=\dfrac{1}{x}. Aplicando a regra do produto:
f'(x) = 1\cdot \ln(x) + x\cdot \frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo (pois x\cdot\frac{1}{x}=1):
f'(x)=\ln(x)+1.
Explicando em palavras: a derivada de x\ln(x) é \ln(x) mais 1 — é intuitivo se lembrar que a parte x “multiplica” o \ln(x) e a parte derivada de x deixa um \ln(x).

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada \;f''(x), que é a derivada de \;f'(x)=\ln(x)+1. Lembrete: a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} e a derivada de uma constante é 0. Assim,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)+1\bigr)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Analisar o sinal de \;f''(x)=\dfrac{1}{x} no domínio \;(0,\infty):
  • Para todo \;x>0 temos \dfrac{1}{x}>0.
    Portanto a segunda derivada é positiva em todo o domínio da função. Pelo critério da segunda derivada, isso significa que a função é côncava para cima (convexa) em todo \;(0,\infty).

Passo 6

Verificar pontos de inflexão:
  • Um ponto de inflexão exige mudança de concavidade. Aqui \;f''(x)=\dfrac{1}{x} é sempre positiva para todo \;x>0, logo não há mudança de sinal de \;f'' em nenhum ponto do domínio.
  • Além disso, \;x=0 não pertence ao domínio da função (pois \ln(x) não está definido em 0), portanto não pode ser considerado ponto de inflexão.
    Conclusão: não existem pontos de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima (convexa) em (0,\infty).
Não existem pontos de inflexão.

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