Para as funções a seguir, estude a concavidade, e determine os pontos de inflexão (se houver).
.
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a concavidade da função e determine os pontos de inflexão (se houver) para a função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - É preciso achar onde a função é côncava para cima/para baixo e onde (se houver) ocorrem pontos de inflexão.
- Observação importante: o logaritmo natural
só está definido para . Portanto o domínio natural da função é .
Passo 2
Vou explicar o método passo a passo (sem pressupor que você já sabe):
- Regra prática: a concavidade de uma função é determinada pelo sinal da segunda derivada. Se a segunda derivada for positiva num intervalo, a função é côncava para cima (às vezes diz-se “convexa”) ali. Se for negativa, é côncava para baixo.
- Ponto de inflexão: é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima. Um teste conveniente é: um candidato a ponto de inflexão é um ponto onde a segunda derivada é zero ou não existe; depois é preciso verificar que o sinal da segunda derivada realmente muda ao atravessar o ponto.
- Para aplicar, primeiro calculamos as derivadas de
: a primeira derivada e a segunda derivada . Em seguida analisamos o sinal de em todo o domínio.
Passo 3
Calcular
usando a regra do produto. Lembrete da regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
Aqui escolha
e
. Então
e
. Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo (pois
):
Explicando em palavras: a derivada de
é
mais 1 — é intuitivo se lembrar que a parte
“multiplica” o
e a parte derivada de
deixa um
.
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
, que é a derivada de
. Lembrete: a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
. Assim,
Passo 5
Analisar o sinal de
no domínio
:
- Para todo
temos .
Portanto a segunda derivada é positiva em todo o domínio da função. Pelo critério da segunda derivada, isso significa que a função é côncava para cima (convexa) em todo.
Passo 6
Verificar pontos de inflexão:
- Um ponto de inflexão exige mudança de concavidade. Aqui
é sempre positiva para todo , logo não há mudança de sinal de em nenhum ponto do domínio. - Além disso,
não pertence ao domínio da função (pois não está definido em ), portanto não pode ser considerado ponto de inflexão.
Conclusão: não existem pontos de inflexão.
Resposta
A função é côncava para cima (convexa) em
.
Não existem pontos de inflexão.
Não existem pontos de inflexão.