(2 pontos) Para
encontre os seus intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais e intervalos de concavidade.
Passo 1
O enunciado pede para a função
definida em
:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– máximos e mínimos locais;
– intervalos de concavidade.
Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e extremantes, e a derivada segunda para concavidade.
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– máximos e mínimos locais;
– intervalos de concavidade.
Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e extremantes, e a derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Calculamos a derivada usando a regra do produto entre
e
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Como
, a única solução vem de
Passo 4
Estudamos o sinal de
:
– Para , tem
, logo
e
: decresce.
– Para , tem
, logo
e
: cresce.
Portanto em há um mínimo local com valor
– Para
– Para
Portanto em
Não há máximo local, pois só existe esse único ponto crítico.
Passo 5
Calculamos a derivada segunda para concavidade:
Resolvendo
dá
, isto é,
.
– Para ,
implica
: concavidade para baixo.
– Para ,
implica
: concavidade para cima.
– Para
– Para
Resposta
Intervalos de crescimento:
.
Intervalos de decrescimento: .
Mínimo local em com valor
.
Não há máximo local.
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local em
Não há máximo local.
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em