(2 pontos) Para f(x)=x^{2} \ln (x) encontre os seus intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais e intervalos de concavidade.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{2}\ln(x)
definida em x>0:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– máximos e mínimos locais;
– intervalos de concavidade.
Vamos usar a derivada primeira para monotonicidade e extremantes, e a derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do produto entre x^2 e \ln(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)\ln(x)+x^2\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr) =2x\ln(x)+x^2\cdot\frac{1}{x} =2x\ln(x)+x =x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)=0.
Como x>0, a única solução vem de
2\ln(x)+1=0 \;\Longrightarrow\; \ln(x)=-\tfrac12 \;\Longrightarrow\; x=e^{-\tfrac12}.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=x(2\ln(x)+1):
– Para 0<x<e^{-\tfrac12}, tem \ln(x)<-\tfrac12, logo 2\ln(x)+1<0 e f'(x)<0: decresce.
– Para x>e^{-\tfrac12}, tem \ln(x)>-\tfrac12, logo 2\ln(x)+1>0 e f'(x)>0: cresce.
Portanto em x=e^{-\tfrac12} há um mínimo local com valor
f\bigl(e^{-\tfrac12}\bigr) =(e^{-\tfrac12})^2\ln\bigl(e^{-\tfrac12}\bigr) =e^{-1}\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =-\tfrac{e^{-1}}{2}.
Não há máximo local, pois só existe esse único ponto crítico.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda para concavidade:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x(2\ln(x)+1)\bigr] =2\ln(x)+1 + x\cdot\frac{2}{x} =2\ln(x)+3.
Resolvendo f''(x)=0 \ln(x)=-\tfrac32, isto é, x=e^{-\tfrac32}.
– Para 0<x<e^{-\tfrac32}, \ln(x)<-\tfrac32 implica f''(x)<0: concavidade para baixo.
– Para x>e^{-\tfrac32}, \ln(x)>-\tfrac32 implica f''(x)>0: concavidade para cima.

Resposta

Intervalos de crescimento: \bigl(e^{-\tfrac12},\infty\bigr).
Intervalos de decrescimento: \bigl(0,e^{-\tfrac12}\bigr).
Mínimo local em x=e^{-\tfrac12} com valor -\tfrac{e^{-1}}{2}.
Não há máximo local.
Concavidade para baixo em \bigl(0,e^{-\tfrac32}\bigr).
Concavidade para cima em \bigl(e^{-\tfrac32},\infty\bigr).

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