Use a Regra de l’Hôspital para resolver os limites.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^{2 t}-1}{t \operatorname{sen}(t)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to0}\frac{e^{2t}-1}{t\,\operatorname{sen}(t)}.
O conteúdo que vamos usar é a Regra de l’Hôpital, aplicável quando temos forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 2

Substituindo t=0 diretamente, vemos
e^{2\cdot0}-1=0 \quad\text{e}\quad 0\cdot\operatorname{sen}(0)=0,
logo a expressão é da forma indeterminada \tfrac{0}{0}, permitindo aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}-1\bigr)=2e^{2t},
\frac{d}{dt}\bigl(t\,\operatorname{sen}(t)\bigr) =\operatorname{sen}(t)+t\cos(t).
Portanto, pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{t\to0}\frac{e^{2t}-1}{t\,\operatorname{sen}(t)} =\lim_{t\to0}\frac{2e^{2t}}{\operatorname{sen}(t)+t\cos(t)}.

Passo 4

No novo limite o numerador tende a
2e^{2\cdot0}=2
e o denominador tende a
\operatorname{sen}(0)+0\cdot\cos(0)=0.
Como isso é uma forma não indeterminada \tfrac{2}{0}, concluímos que o quociente diverge. Para t\to0^+ tem-se \operatorname{sen}(t)+t\cos(t)\approx2t>0, logo a razão vai a +\infty; para t\to0^- o denominador fica negativo e a razão vai a -\infty. Assim o limite bilateral não existe como número finito.

Resposta

O limite diverge, não existindo valor finito (tende a +\infty por t\to0^+ e a -\infty por t\to0^-).

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