Encontre os valores máximo e minimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x e^x^2, [-3,1]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x)=x,e^x^2 no intervalo [-3,1]. Para resolver, vamos usar cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e depois comparar os valores de f nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) =ddxl(xr),e^x^2 + x,ddxl(e^x^2r) =e^x^2 +xcdot e^x^2cdot 2x =e^x^2l(1+2x^2r)

Passo 3

Procuramos soluções de f'(x)=0. Como e^x^2>0 para todo x e 1+2x^2>0 também nunca zera, não existem pontos críticos internos. Logo, os únicos candidatos a extremos são as extremidades x=-3 e x=1.

Passo 4

Avaliamos f nas extremidades:
f(-3)=-3,e^(-3)^2=-3e^9,
f(1)=1cdot e^1=e
Como -3e^9<e, o valor mínimo absoluto é -3e^9 em x=-3 e o máximo absoluto é e em x=1.

Resposta

Mínimo absoluto: f(-3)=-3e^9.
Máximo absoluto: f(1)=e.

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