Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo de
entre 1 e 3. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge seus extremos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, precisamos:
- Avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e . - Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo onde a derivada da função é zero ou não existe, já que nesses pontos a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar as taxas de variação da função e, consequentemente, os pontos críticos.
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá duas soluções:
-
=> -
=> (não tem solução real)
Como nosso intervalo é de 1 a 3, e
não está dentro desse intervalo, não temos pontos críticos internos para considerar. Portanto, nossos candidatos para máximo e mínimo absolutos são apenas os extremos do intervalo.
Passo 5
Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Resposta
No intervalo de 1 a 3, a função
atinge o valor máximo absoluto de 2 em
e o valor mínimo absoluto de aproximadamente 0,0444 em
.