Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=4x^4+x^2,[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x) = 4x^4 + x^2 no intervalo de x entre 1 e 3. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função atinge seus extremos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar valores máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, precisamos:
  1. Avaliar a função nos extremos do intervalo, ou seja, em x = 1 e x = 3 .
  2. Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo onde a derivada da função é zero ou não existe, já que nesses pontos a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a identificar as taxas de variação da função e, consequentemente, os pontos críticos.
f(x) = 4x^4 + x^2
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente:
f'(x) = 0 cdot (x^4 + x^2) - 4 cdot (4x^3 + 2x)(x^4 + x^2)^2
Simplificando:
f'(x) = -4(4x^3 + 2x)(x^4 + x^2)^2
f'(x) = -16x^3 - 8x(x^4 + x^2)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0 :
-16x^3 - 8x = 0
-8x(2x^2 + 1) = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. -8x = 0 => x = 0
  2. 2x^2 + 1 = 0 => x^2 = -12 (não tem solução real)
Como nosso intervalo é de 1 a 3, e x = 0 não está dentro desse intervalo, não temos pontos críticos internos para considerar. Portanto, nossos candidatos para máximo e mínimo absolutos são apenas os extremos do intervalo.

Passo 5

Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo:
  1. Em x = 1 :
f(1) = 41^4 + 1^2 = 41 + 1 = 42 = 2
  1. Em x = 3 :
f(3) = 43^4 + 3^2 = 481 + 9 = 490 = 245 approx 0,0444

Resposta

No intervalo de 1 a 3, a função f(x) = 4x^4 + x^2 atinge o valor máximo absoluto de 2 em x = 1 e o valor mínimo absoluto de aproximadamente 0,0444 em x = 3 .

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