Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=3 x^4+2 x^3-3 x^2,[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 no intervalo de [0, 1] . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode atingir valores máximos ou mínimos. Usando as regras de derivação:
f'(x) = ddx(3x^4) + ddx(2x^3) - ddx(3x^2) = 12x^3 + 6x^2 - 6x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0 :
12x^3 + 6x^2 - 6x = 0
Podemos fatorar essa expressão:
6x(2x^2 + x - 1) = 0
Isso nos dá:
6x = 0 ou 2x^2 + x - 1 = 0
Então:
x = 0 ou 2x^2 + x - 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática 2x^2 + x - 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 2, b = 1, e c = -1. Substituindo:
x = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Isso dá duas soluções:
x = 24 = 0,5 e x = -44 = -1
Como estamos analisando o intervalo [0, 1], descartamos x = -1 e ficamos com x = 0,5.

Passo 5

Agora, temos os pontos críticos no intervalo: x = 0, x = 0,5 e x = 1 (os endpoints). Vamos calcular o valor da função f(x) em cada um desses pontos:
f(0) = 3(0)^4 + 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0
f(0,5) = 3(0,5)^4 + 2(0,5)^3 - 3(0,5)^2 = 3(0,0625) + 2(0,125) - 3(0,25) = 0,1875 + 0,25 - 0,75 = -0,3125
f(1) = 3(1)^4 + 2(1)^3 - 3(1)^2 = 3 + 2 - 3 = 2

Resposta

O valor mínimo absoluto de f no intervalo [0, 1] é -0,3125 em x = 0,5 e o valor máximo absoluto é 2 em x = 1.

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