- Mostrar que o plano tangente à esfera
no ponto
tem equação
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o plano tangente à esfera
no ponto
tem a equação
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esfera dada por
tem centro na origem
e raio
. O ponto
está na esfera, então ele satisfaz a equação da esfera:
Passo 3
Para encontrar a equação do plano tangente à esfera nesse ponto, vamos utilizar o conceito de derivada ou, mais especificamente, o gradiente da função que define a esfera. A função que representa a esfera é:
Passo 4
O gradiente de
, denotado por
, fornece a normal ao plano tangente. Calculando o gradiente:
No ponto
, o gradiente é:
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor
igual a zero:
Substituindo o gradiente:
Passo 6
Vamos simplificar a equação acima:
Dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Reorganizando os termos:
Lembrando que
, então a equação fica:
Resposta
Portanto, o plano tangente à esfera
no ponto
é dado por: