1. Mostrar que o plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no ponto (x0, y0, z0) tem equação x0 x+y0 y+z0 z=a^2.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o plano tangente à esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 no ponto (x0, y0, z0) tem a equação x0 x + y0 y + z0 z = a^2. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 tem centro na origem (0,0,0) e raio a. O ponto (x0, y0, z0) está na esfera, então ele satisfaz a equação da esfera:
x0^2 + y0^2 + z0^2 = a^2

Passo 3

Para encontrar a equação do plano tangente à esfera nesse ponto, vamos utilizar o conceito de derivada ou, mais especificamente, o gradiente da função que define a esfera. A função que representa a esfera é:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

Passo 4

O gradiente de f, denotado por nabla f, fornece a normal ao plano tangente. Calculando o gradiente:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 2z)
No ponto (x0, y0, z0), o gradiente é:
nabla f(x0, y0, z0) = (2x0, 2y0, 2z0)

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor (x - x0, y - y0, z - z0) igual a zero:
nabla f cdot ((x - x0), (y - y0), (z - z0)) = 0
Substituindo o gradiente:
2x0(x - x0) + 2y0(y - y0) + 2z0(z - z0) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação acima:
2x0x - 2x0^2 + 2y0y - 2y0^2 + 2z0z - 2z0^2 = 0
Dividindo todos os termos por 2:
x0x - x0^2 + y0y - y0^2 + z0z - z0^2 = 0

Passo 7

Reorganizando os termos:
x0x + y0y + z0z = x0^2 + y0^2 + z0^2
Lembrando que x0^2 + y0^2 + z0^2 = a^2, então a equação fica:
x0x + y0y + z0z = a^2

Resposta

Portanto, o plano tangente à esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 no ponto (x0, y0, z0) é dado por:
x0x + y0y + z0z = a^2

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