Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1 $ no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde ela é zero, podemos ter possíveis extremos.
A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ x $ onde a derivada é zero, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Esses valores de $ x $ são os pontos críticos dentro do intervalo
. Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos, precisamos calcular o valor da função $ f(x) $ nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em $ x = -2 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Vamos calcular $ f(x) $ nos seguintes pontos:
Passo 6
Agora, com esses valores calculados:
Podemos comparar para ver qual é o maior e qual é o menor valor.
Resposta
O valor máximo absoluto de $ f $ no intervalo
é $ 8 $ em $ x = -1 $ e o valor mínimo absoluto é $ -19 $ em $ x = 2 $.