Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+1, x in[-2,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1 $ no intervalo f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde ela é zero, podemos ter possíveis extremos.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ x $ onde a derivada é zero, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $:
x
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
f'(x) = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
6x^2 - 6x - 12 = 0
Então, temos duas soluções:
x^2 - x - 2 = 0

Passo 4

Esses valores de $ x $ são os pontos críticos dentro do intervalo x . Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos, precisamos calcular o valor da função $ f(x) $ nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em $ x = -2 $ e $ x = 3 $.

Passo 5

Vamos calcular $ f(x) $ nos seguintes pontos:
f(x)
f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -3
f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8
f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19

Passo 6

Agora, com esses valores calculados:
f(-2) = -3
f(-1) = 8
f(2) = -19
f(3) = -8
Podemos comparar para ver qual é o maior e qual é o menor valor.

Resposta

O valor máximo absoluto de $ f $ no intervalo f é $ 8 $ em $ x = -1 $ e o valor mínimo absoluto é $ -19 $ em $ x = 2 $.

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