Seja lllx^2+xx+1 & se x neq-1 2 & se & x=-1. A função f é contínua em -1 ? E em 0? Por quê?

Passo 1

Temos a função
f(x)= dfracx^2+xx+1,&xneq-1, 2,&x=-1
O conteúdo aqui é continuidade de função em pontos específicos. Pra verificar continuidade em um ponto a a definição é:
limxto af(x)=f(a)
Vamos aplicar isso em a=-1 e a=0.

Passo 2

Primeiro note que, para xneq -1, podemos simplificar
f(x)=x^2+xx+1=x(x+1)x+1=x
Isso vale em qualquer ponto diferente de -1. Assim o limite de f(x) quando xto -1 é
limxto -1f(x)=limxto -1x=-1

Passo 3

Agora comparamos esse limite com o valor definido em x=-1, que é f(-1)=2. Como
limxto -1f(x)=-1neq 2=f(-1), não satisfaz a definição de continuidade. Logo, f não é contínua em -1.

Passo 4

Para ver em x=0, usamos de novo a expressão simplificada f(x)=x (já que 0neq -1). Então
limxto 0f(x)=limxto 0x=0
e o valor f(0) dado pela definição original é
f(0)=0^2+00+1=0
Como limxto 0f(x)=0=f(0), satisfaz a definição de continuidade. Portanto, f é contínua em 0.

Resposta

A função não é contínua em -1, pois limxto -1f(x)=-1neq 2=f(-1). Ela é contínua em 0, pois limxto 0f(x)=f(0)=0.

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