Identifique se os exemplos a seguir são funções e justifique sua resposta. Em caso negativo, determine qual deve ser o domínio para que a função esteja definida. Em seguida, esboce o gráfico.
(a) f(x)=2, com Df=N e C Df=R;
(b) llx^2 & se x >= 0, -x^2 & se x<0 , com Df=R e C Df=N;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar se os exemplos dados são funções. Para isso, vamos lembrar que uma função relaciona cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio. Vamos usar conceitos de função, domínio, contradomínio e também vamos desenhar os gráficos dessas funções. Vamos lá!

Passo 2

Exemplo (a): $ f(x) = 2 $, com $ D_f = \mathbb{N} $ e $ CD_f = \mathbb{R} $.
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A função $ f(x) = 2 $ está dizendo que para qualquer $ x $ no domínio, o resultado é sempre 2. O domínio $ D_f $ é o conjunto dos números naturais ($ \mathbb{N} $) e o contradomínio $ CD_f $ é o conjunto dos números reais ($ \mathbb{R} $).
Como uma função precisa associar cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio, e aqui cada $ x $ está sendo mapeado para 2, está tudo certo. Não tem problema, é uma função válida.

Passo 3

Exemplo (b):
f(x) = x^2 & se x >= 0, -x^2 & se x < 0
com $ D_f = \mathbb{R} $ e $ CD_f = \mathbb{N} $.
Agora, vamos analisar esse caso. A função está definida para todos os números reais ($ D_f = \mathbb{R} $). Para $ x $ maior ou igual a zero, $ f(x) = x^{2} $, e para $ x $ menor que zero, $ f(x) = -x^{2} $.
Aqui, cada $ x $ diferente de zero está sendo mapeado para um valor único: se $ x $ é positivo ou zero, $ f(x) $ é positivo ou zero; se $ x $ é negativo, $ f(x) $ é negativo. Portanto, cada $ x $ no domínio tem um único $ f(x) $, então também é uma função válida.
No entanto, o contradomínio está definido como os números naturais ($ \mathbb{N} $). Mas, olhando para a função, para $ x < 0 $, $ f(x) $ será negativo, o que não está incluído nos números naturais. Então, para que o contradomínio seja correto, ele deveria incluir os números naturais e os números negativos do mesmo conjunto, ou mudar para outro conjunto que englobe todos os possíveis valores de $ f(x) $.

Resposta

Ambos os exemplos são funções:
(a) $ f(x) = 2 $ com $ D_f = \mathbb{N} $ e $ CD_f = \mathbb{R} $ é uma função válida, associando cada número natural a 2.
(b) A função definida por partes é válida para $ D_f = \mathbb{R} $, mas o contradomínio correto deve incluir também os números negativos, já que para $ x < 0 $, $ f(x) = -x^{2} $. O gráfico de cada função reflete essas definições.

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