Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
e a reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos a função
e queremos a área da região limitada por:
– o gráfico de ,
– a reta vertical ,
– e a reta tangente ao gráfico de no ponto
.
O conteúdo principal é área entre curvas, e para isso precisamos achar a equação da reta tangente e depois integrar a diferença entre as funções.
– o gráfico de
– a reta vertical
– e a reta tangente ao gráfico de
O conteúdo principal é área entre curvas, e para isso precisamos achar a equação da reta tangente e depois integrar a diferença entre as funções.
Passo 2
Primeiro achamos a reta tangente em
. Derivando,
logo em
temos
A reta tangente passa por
com inclinação
, então
Passo 3
Agora identificamos os pontos de interseção que definem os limites da região.
- Na reta vertical
: - Sobre
: , dá o ponto . - Sobre a tangente:
, dá o ponto .
- Sobre
- Entre
e a tangente: resolvemos que dá o ponto de tangência .
Portanto, a região é “fechada” por, pela tangente de a e por de a .
Passo 4
Para escrever a área como integral, precisamos saber qual curva fica acima da outra em
. Por exemplo, em
:
logo a reta tangente está acima de
. Assim,
Passo 5
Calculamos o integrando:
Então
Resposta
A área da região limitada é
.