Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
f(x)=-x^{2}-2 x+3, x=0 e a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,-5).

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos a função
f(x) = -x^2 - 2x + 3
e queremos a área da região limitada por:
– o gráfico de f,
– a reta vertical x=0,
– e a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,-5).
O conteúdo principal é área entre curvas, e para isso precisamos achar a equação da reta tangente e depois integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Primeiro achamos a reta tangente em x=2. Derivando,
f'(x) = -2x - 2,
logo em x=2 temos
m = f'(2) = -2\cdot2 - 2 = -6.
A reta tangente passa por (2,-5) com inclinação -6, então
y - (-5) = -6\,(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y + 5 = -6x + 12 \quad\Longrightarrow\quad y = -6x + 7.

Passo 3

Agora identificamos os pontos de interseção que definem os limites da região.
  1. Na reta vertical x=0:
    • Sobre f: f(0)=3, dá o ponto (0,3).
    • Sobre a tangente: y=-6\cdot0+7=7, dá o ponto (0,7).
  2. Entre f e a tangente: resolvemos -x^2 -2x +3 = -6x +7 \;\Longrightarrow\; -x^2 +4x -4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x=2,que dá o ponto de tangência (2,-5).
    Portanto, a região é “fechada” por x=0, pela tangente de (0,7) a (2,-5) e por f de (2,-5) a (0,3).

Passo 4

Para escrever a área como integral, precisamos saber qual curva fica acima da outra em 0\le x\le2. Por exemplo, em x=1:
f(1) = -1 -2 +3 = 0, \quad \text{tangente}(1) = -6 + 7 = 1,
logo a reta tangente está acima de f. Assim,
\text{Área} = \int_{0}^{2} \bigl[\text{tangente}(x) - f(x)\bigr]\,dx.Á

Passo 5

Calculamos o integrando:
\text{tangente}(x) - f(x) = \bigl(-6x+7\bigr) - \bigl(-x^2 -2x +3\bigr) = x^2 -4x +4.
Então
\text{Área} = \int_{0}^{2} \bigl(x^2 -4x +4\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} -2x^2 +4x\right]_{0}^{2} = \Bigl(\frac{8}{3} -8 +8\Bigr) - 0 = \frac{8}{3}.Á

Resposta

A área da região limitada é \displaystyle \frac{8}{3}.

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