Esboce e calcule a área delimitada pelas seguintes curvas:
y=x^{3}+3 x^{2}, y=0, x=0 e x=2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela curva
y = x^{3} + 3x^{2},
pelo eixo x (ou seja, y=0), e pelas retas verticais x=0 e x=2.
O conteúdo é o cálculo de área entre uma curva e o eixo x, usando integral definida.

Passo 2

Para esboçar, encontramos onde y=x^{3}+3x^{2} corta o eixo x:
x^{3}+3x^{2}=x^{2}(x+3)=0
tem raízes em x=0 e x=-3. No intervalo de integração [0,2], escolhemos, por exemplo, x=1, que dá y=4>0. Logo, entre x=0 e x=2 a curva fica acima de y=0 e a região é simplesmente “embaixo” da curva.

Passo 3

A área A dessa região é dada pela integral de y em x de 0 a 2:
A = \int_{0}^{2} \bigl(x^{3} + 3x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos uma antiderivada de x^{3}+3x^{2}. Sabemos que
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \qquad \int 3x^{2}\,dx = x^{3},
logo uma primitiva é
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + x^{3}.

Passo 5

Avaliar F(x) de 0 a 2:
A = F(2) - F(0) = \Bigl(\frac{2^{4}}{4} + 2^{3}\Bigr) - \Bigl(0 + 0\Bigr) = \bigl(4 + 8\bigr) = 12.

Resposta

A área da região delimitada é 12.

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