Sejam A, B in M3 times 3(R). Se AX é a matriz coluna nula, para todo X in M3 times 1(R), então A é a matriz nula.

Passo 1

A questão nos diz que temos uma matriz A em M_{3×3}(ℝ) e que para qualquer vetor coluna X em M_{3×1}(ℝ) vale AX = 0. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e a ideia de que o produto A X é combinação linear das colunas de A. Vamos usar vetores da base canônica para mostrar que cada coluna de A é nula.

Passo 2

Sabendo que ao multiplicar A por um vetor X = (x₁,x₂,x₃)ᵀ o resultado é
AX = x₁,C1 + x₂,C2 + x₃,C3
onde C₁, C₂ e C₃ são as colunas de A, temos que essa combinação linear é sempre o vetor zero.

Passo 3

Escolhendo X como o primeiro vetor da base canônica, ou seja X = e₁ = (1,0,0)ᵀ, obtemos
Ae₁ = 1·C1 + 0·C2 + 0·C3 = C1
e como por hipótese Ae₁ = 0, concluímos C₁ = 0. (A primeira coluna de A é nula.)

Passo 4

De modo idêntico, para X = e₂ = (0,1,0)ᵀ e X = e₃ = (0,0,1)ᵀ temos
Ae₂ = C2 = 0,
Ae₃ = C3 = 0,
logo C₂ e C₃ também são vetores nulos.

Passo 5

Como todas as três colunas de A são o vetor zero, concluímos que A é a matriz nula.

Passo 6

Portanto, se AX = 0 para todo vetor X em M_{3×1}(ℝ), A deve ser a matriz nula.

Resposta

A é a matriz nula.

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