Sejam
. Se
é a matriz coluna nula, para todo
, então
é a matriz nula.
Passo 1
A questão nos diz que temos uma matriz A em M_{3×3}(ℝ) e que para qualquer vetor coluna X em M_{3×1}(ℝ) vale AX = 0. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e a ideia de que o produto A X é combinação linear das colunas de A. Vamos usar vetores da base canônica para mostrar que cada coluna de A é nula.
Passo 2
Sabendo que ao multiplicar A por um vetor X = (x₁,x₂,x₃)ᵀ o resultado é
onde C₁, C₂ e C₃ são as colunas de A, temos que essa combinação linear é sempre o vetor zero.
Passo 3
Escolhendo X como o primeiro vetor da base canônica, ou seja X = e₁ = (1,0,0)ᵀ, obtemos
e como por hipótese Ae₁ = 0, concluímos C₁ = 0. (A primeira coluna de A é nula.)
Passo 4
De modo idêntico, para X = e₂ = (0,1,0)ᵀ e X = e₃ = (0,0,1)ᵀ temos
logo C₂ e C₃ também são vetores nulos.
Passo 5
Como todas as três colunas de A são o vetor zero, concluímos que A é a matriz nula.
Passo 6
Portanto, se AX = 0 para todo vetor X em M_{3×1}(ℝ), A deve ser a matriz nula.
Resposta
A é a matriz nula.