(1,0 ponto cada item) Considere a função f(x)=x^3-3 x^2+3.
(a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(b) Encontre os pontos e valores de máximo e de mínimo locais de f.
© Estude a concavidade de f e encontre o ponto de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3 $ e precisamos fazer três coisas:
a) Descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo.
b) Encontrar os pontos onde a função atinge máximos e mínimos locais.
c) Analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
Para resolver tudo isso, vamos usar derivadas da função, que nos ajudam a entender o comportamento dela.

Passo 2

Parte a: Intervalos de crescimento e decrescimento
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $.
A derivada de $ f(x) $ é:
x
Agora, precisamos descobrir onde $ f’(x) $ é positiva (função está crescendo) e onde é negativa (função está decrescendo).
Vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f(x)
Esses valores dividem a reta real em três intervalos: $ (-\infty, 0) $, $ (0, 2) $ e $ (2, +\infty) $. Vamos testar um ponto em cada intervalo para ver o sinal de $ f’(x) $.
  • Para $ x = -1 $ em $ (-\infty, 0) $:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x^2) + ddx(3) = 3x^2 - 6x
  • Para $ x = 1 $ em $ (0, 2) $:
f'(x)
  • Para $ x = 3 $ em $ (2, +\infty) $:
f'(x) = 0

Passo 3

Parte b: Pontos de máximo e mínimo locais
Agora que sabemos onde a função está crescendo e decrescendo, podemos identificar os pontos de máximo e mínimo locais.
  • Em $ x = 0 $:
A função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de máximo local.
  • Em $ x = 2 $:
A função muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo local.
Para encontrar as coordenadas desses pontos, substituímos $ x $ na função original:
  • Para $ x = 0 $:
x = 0
Então, o ponto de máximo local é $ (0, 3) $.
  • Para $ x = 2 $:
x = 2
Então, o ponto de mínimo local é $ (2, -1) $.

Passo 4

Parte c: Concavidade e ponto de inflexão
Vamos agora analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da derivada segunda da função.
A derivada primeira que já temos é $ f’(x) = 3x^{2} - 6x $.
Agora, a derivada segunda:
f'(x) = 3x^2 - 6x
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = ddx(3x^2) - ddx(6x) = 6x - 6
Esse valor divide a reta real em dois intervalos: $ (-\infty, 1) $ e $ (1, +\infty) $. Vamos testar um ponto em cada intervalo para determinar a concavidade.
  • Para $ x = 0 $ em $ (-\infty, 1) $:
f''(x) = 0
  • Para $ x = 2 $ em $ (1, +\infty) $:
6x - 6 = 0 6x = 6 x = 1
Como a concavidade muda em $ x = 1 $, esse é um ponto de inflexão. Vamos encontrar a coordenada $ y $:
(-infty, 1)
Então, o ponto de inflexão é $ (1, 1) $.

Resposta

a) A função $ f(x) $ está crescendo nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $ e decrescendo no intervalo $ (0, 2) $.
b) A função possui um ponto de máximo local em $ (0, 3) $ e um ponto de mínimo local em $ (2, -1) $.
c) A concavidade de $ f(x) $ é para baixo em $ (-\infty, 1) $ e para cima em $ (1, +\infty) $. Existe um ponto de inflexão em $ (1, 1) $.

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