Encontre os valores máximo e mínimo de:
sujeito às restrições
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeitos às duas restrições
e
Informações dadas:
- Duas equações que relacionam
: e . - A função objetivo é
.
O objetivo é determinar os valores mínimo e máximo desobre o conjunto de pontos que satisfazem ambas as restrições, e indicar em quais pontos esses extremos ocorrem.
Passo 2
Vou comparar as duas restrições para extrair uma relação simples entre
e
. Subtraindo a segunda restrição da primeira obtemos
No lado esquerdo os termos
cancelam, então
Isto é equivalente a
Explicando devagar: como as restrições dizem que as somas
e
são iguais a
, as partes com
são as mesmas nas duas equações, então sobrar apenas a igualdade entre
e
.
Passo 3
Da igualdade
segue que
Isto significa que, para qualquer solução admissível,
é igual a
ou igual a
. Importante: a igualdade foi obtida a partir das restrições; não estamos impondo um sinal fixo — ambos os sinais são possíveis desde que as demais restrições sejam satisfeitas.
Passo 4
Agora use uma das restrições para eliminar uma variável em
. Da restrição
temos
Substituindo isso em
,
Alternativamente, usando
(do Passo 3) temos também
Explicando: como
é determinado por
via a restrição, o valor de
depende somente de
(ou de
, que é igual a
). Assim o problema de otimização sobre o conjunto dado reduz-se a estudar
com
sujeito às restrições impostas por realismo de
.
Passo 5
Determinar agora o intervalo possível para
. Da expressão
devemos ter
, logo
E claramente
. Portanto
Como
, isso implica que
varia em
Concluímos então que o valor mínimo possível de
é
(quando
) e o máximo possível é
(quando
).
Passo 6
Determinar os pontos onde esses extremos ocorrem.
- Para o mínimo
: precisamos de , isto é . Pela relação segue . Da restrição vem , logo . Assim os pontos que atingem o mínimo são
- Para o máximo
: precisamos de , ou seja . Como temos (o sinal pode ser independente do sinal de , pois a condição é sobre os quadrados). Da restrição vem , logo . Assim os pontos que atingem o máximo são as quatro combinações
Passo 7
Breve verificação: todos os pontos listados satisfazem ambas as restrições e dão os valores indicados de
. Por exemplo, em
temos
e as restrições
e
válidas; em
temos
e as restrições
e
válidas. Portanto as conclusões estão corretas.
Resposta
Máximo:
, alcançado em
.
Mínimo: , alcançado em
e
.
Mínimo: