Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeito às restrições y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sujeitos às duas restrições
y^{2}+z^{2}=1
e
x^{2}+z^{2}=1.
Informações dadas:
  • Duas equações que relacionam x,y,z: y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+z^{2}=1.
  • A função objetivo é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
    O objetivo é determinar os valores mínimo e máximo de f sobre o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem ambas as restrições, e indicar em quais pontos esses extremos ocorrem.

Passo 2

Vou comparar as duas restrições para extrair uma relação simples entre x e y. Subtraindo a segunda restrição da primeira obtemos
(y^{2}+z^{2})-(x^{2}+z^{2})=1-1.
No lado esquerdo os termos z^{2} cancelam, então
y^{2}-x^{2}=0.
Isto é equivalente a
y^{2}=x^{2}.
Explicando devagar: como as restrições dizem que as somas y^{2}+z^{2} e x^{2}+z^{2} são iguais a 1, as partes com z^{2} são as mesmas nas duas equações, então sobrar apenas a igualdade entre y^{2} e x^{2}.

Passo 3

Da igualdade y^{2}=x^{2} segue que
y=\pm x.
Isto significa que, para qualquer solução admissível, y é igual a x ou igual a -x. Importante: a igualdade foi obtida a partir das restrições; não estamos impondo um sinal fixo — ambos os sinais são possíveis desde que as demais restrições sejam satisfeitas.

Passo 4

Agora use uma das restrições para eliminar uma variável em f. Da restrição x^{2}+z^{2}=1 temos
z^{2}=1-x^{2}.
Substituindo isso em f,
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+(1-x^{2})=y^{2}+1.
Alternativamente, usando y^{2}=x^{2} (do Passo 3) temos também
f(x,y,z)=1+x^{2}.
Explicando: como z^{2} é determinado por x^{2} via a restrição, o valor de f depende somente de x^{2} (ou de y^{2}, que é igual a x^{2}). Assim o problema de otimização sobre o conjunto dado reduz-se a estudar g(t)=1+t com t=x^{2} sujeito às restrições impostas por realismo de z.

Passo 5

Determinar agora o intervalo possível para t=x^{2}. Da expressão z^{2}=1-x^{2} devemos ter z^{2}\ge 0, logo
1-x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le 1.
E claramente x^{2}\ge 0. Portanto
0\le x^{2}\le 1.
Como f=1+x^{2}, isso implica que f varia em
1 \le f \le 2.
Concluímos então que o valor mínimo possível de f é 1 (quando x^{2}=0) e o máximo possível é 2 (quando x^{2}=1).

Passo 6

Determinar os pontos onde esses extremos ocorrem.
  • Para o mínimo f_{\min}=1: precisamos de x^{2}=0, isto é x=0. Pela relação y^{2}=x^{2} segue y=0. Da restrição y^{2}+z^{2}=1 vem z^{2}=1, logo z=\pm 1. Assim os pontos que atingem o mínimo são
(0,0,1)\quad\text{e}\quad(0,0,-1).
  • Para o máximo f_{\max}=2: precisamos de x^{2}=1, ou seja x=\pm 1. Como y^{2}=x^{2} temos y=\pm 1 (o sinal pode ser independente do sinal de x, pois a condição é sobre os quadrados). Da restrição x^{2}+z^{2}=1 vem z^{2}=0, logo z=0. Assim os pontos que atingem o máximo são as quatro combinações
(1,1,0),\\ (1,-1,0),\\ (-1,1,0),\\ (-1,-1,0).

Passo 7

Breve verificação: todos os pontos listados satisfazem ambas as restrições e dão os valores indicados de f. Por exemplo, em (0,0,1) temos f=0+0+1=1 e as restrições 0+1=1 e 0+1=1 válidas; em (1,-1,0) temos f=1+1+0=2 e as restrições 1+0=1 e 1+0=1 válidas. Portanto as conclusões estão corretas.

Resposta

Máximo: 2, alcançado em (1,1,0),\\ (1,-1,0),\\ (-1,1,0),\\ (-1,-1,0).
Mínimo: 1, alcançado em (0,0,1) e (0,0,-1).

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