Se a densidade na placa x y+x z+y z=a, (x, y, z \neq 0) é dada por D(x, y, z)=x y z, determine os pontos da placa onde a densidade é máxima e onde é mínima.
Passo 1
O enunciado dá a superfície (a “placa”)
xy+xz+yz=a,\qquad (x,y,z\neq 0),
e a densidade
D(x,y,z)=xyz.
O que se pede: determinar os pontos sobre essa superfície onde a densidade é máxima e onde é mínima.
Informações úteis extraídas do enunciado:
A superfície é o conjunto de triplas (x,y,z) reais (com x,y,z\neq 0) que satisfazem \;xy+xz+yz=a.
A função que queremos otimizar é D(x,y,z)=xyz sujeita à restrição acima.
A constante a aparece no enunciado; não foi especificado seu sinal, então teremos de observar como isso afeta existência de soluções reais.
Passo 2
Método para resolver (explicação didática do que faremos).
Vou usar multiplicadores de Lagrange — uma técnica padrão para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia: construir a função de Lagrange
e procurar pontos onde o gradiente de \mathcal{L} é zero, ou seja, onde as derivadas parciais em x,y,z e a equação de restrição se anulam simultaneamente. Isso dá um sistema de equações que identifica candidatos a extremos (os chamados pontos críticos restritos).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (a aula rápida sobre diferenças parciais).
Derivada de D em relação a x: ao derivar xyz por x tratamos y,z como constantes, então \partial D/\partial x=yz. Analogamente
Resolver o sistema de Lagrange (maneira algébrica e muito utilizada em provas).
Subtraindo pares de equações para eliminar \lambda e obter relações entre x,y,z:
Essas três equações simultâneas implicam que para cada par de índices a diferença entre as variáveis é zero ou a variável correspondente é igual a \lambda. Vamos fazer uma análise de casos simples e eficaz:
Se dois deles, por exemplo x e y, fossem iguais e o terceiro diferente, ao voltar às equações originais isso leva a uma contradição x=0 (que é proibido), portanto não é possível ter exatamente dois iguais e o terceiro diferente (detalhe técnico mostrado substituindo x=y nas equações).
Se nenhum par é igual, então das três equações acima segue que x=\lambda, y=\lambda, z=\lambda, logo x=y=z.
Se todos são iguais, \;x=y=z=t, essa é uma solução admissível (desde que não force t=0).
Portanto, os únicos candidatos não-zero vindos do sistema de Lagrange são simétricos: x=y=z=t.
Passo 5
Impor a restrição para achar t.
Substituindo x=y=z=t na restrição \;xy+xz+yz=a obtém-se
3t^2=a.
Isto dá
t=\pm\sqrt{\frac{a}{3}},
desde que a/3\ge 0, ou seja, existe solução real se e somente se a\ge 0. (Se a=0 então t=0 mas o enunciado exige x,y,z\neq0, então não há solução admissível nesse caso.)
Classificação dos extremos — caso mais relevante em provas: restrição a variáveis positivas.
É comum (e fisicamente natural quando D é densidade) restringir a x,y,z>0. Para esse caso podemos usar AM–GM para provar que o ponto simétrico dá o máximo global.
Aplicando AM–GM às três quantidades xy,\;yz,\;zx (todas positivas), temos
Sobre existência de mínimo (no caso x,y,z>0) e comportamento sem restrição de sinais.
Se restringirmos a x,y,z>0 então xyz é não negativo e pode ficar arbitrariamente próximo de 0 (por exemplo fazendo x\to 0^+ e ajustando y,z para satisfazer a restrição), portanto não existe mínimo positivo atingido — o ínfimo é 0, não alcançado porque x,y,z\neq0.
Se não impusermos sinal algum (apenas x,y,z\neq0), então a função D=xyz não tem extremos globais sobre toda a superfície: pode-se produzir valores com módulo arbitrariamente grande. Um exemplo simples para ver que D é não limitado abaixo (tendendo a -\infty) é tomar, para x grande, y=-x+1 (que é diferente de zero para x\neq 1); então
Isso mostra que sem restrição de sinal não há máximo nem mínimo global — a função é não limitada.
Passo 9
Resumo final (o que será útil para a prova).
Os únicos pontos críticos admissíveis (com x,y,z\neq 0) obtidos por Lagrange são os simétricos \;x=y=z=\pm\sqrt{\tfrac{a}{3}}, existindo em \mathbb{R} apenas quando a>0.
Se se considera apenas x,y,z>0 (caso típico para densidade), então há um máximo global em \big(\sqrt{\tfrac{a}{3}},\sqrt{\tfrac{a}{3}},\sqrt{\tfrac{a}{3}}\big) com valor D_{\max}=\left(\tfrac{a}{3}\right)^{3/2}. Não há mínimo (o ínfimo é 0, não atingido).
Sem restrição de sinais, a função não tem extremos globais (é não limitada, tanto para +\infty quanto para -\infty).
Resposta
Máxima (no octante positivo, quando a>0): \displaystyle (x,y,z)=\Big(\sqrt{\tfrac{a}{3}},\sqrt{\tfrac{a}{3}},\sqrt{\tfrac{a}{3}}\Big) com D_{\max}=\displaystyle\left(\tfrac{a}{3}\right)^{3/2}.
Mínima (no octante negativo, quando a>0): \displaystyle (x,y,z)=\Big(-\sqrt{\tfrac{a}{3}},-\sqrt{\tfrac{a}{3}},-\sqrt{\tfrac{a}{3}}\Big) com D_{\min}=\displaystyle -\left(\tfrac{a}{3}\right)^{3/2}.
Observação: se não houver restrição de sinais então D não possui extremos globais sobre a superfície (é não limitada).