Encontre os valores máximo e mínimo da função
no domínio
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
no disco
O conteúdo é otimização de funções em conjuntos fechados e limitados: precisamos checar pontos críticos no interior e depois examinar o contorno.
Passo 2
Calculemos o gradiente para achar pontos críticos no interior de
:
Impondo
dá
Como
, esse ponto fica fora de
, logo não há extremos internos.
Passo 3
Para tratar o contorno, completamos quadrados e vemos o aspecto geométrico de
. Escrevendo
segue
Isto mostra que
difere da distância ao ponto
apenas por uma constante.
Passo 4
No disco
, todo
satisfaz
. Seja
a distância de
a
; do centro
a
temos
A menor distância de
a um ponto de
é
e a maior é
. Assim os valores de
variam entre
Passo 5
Como
, os extremos em
são
ocorrendo no ponto de
mais próximo de
, isto é
E
ocorrendo no ponto de
mais longe de
, ou seja
Resposta
O valor mínimo é
em
,
e o valor máximo é
e o valor máximo é
em
.