Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x^2+y^2-4 x-6 y no domínio D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y
no disco
D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=4
O conteúdo é otimização de funções em conjuntos fechados e limitados: precisamos checar pontos críticos no interior e depois examinar o contorno.

Passo 2

Calculemos o gradiente para achar pontos críticos no interior de D:
nabla f(x,y)=(2x-4,;2y-6)
Impondo nabla f=0
2x-4=0, 2y-6=0 Longrightarrow (x,y)=(2,3)
Como (2)^2+(3)^2=13>4, esse ponto fica fora de D, logo não há extremos internos.

Passo 3

Para tratar o contorno, completamos quadrados e vemos o aspecto geométrico de f. Escrevendo
x^2-4x=(x-2)^2-4, y^2-6y=(y-3)^2-9,
segue
f(x,y)=(x-2)^2+(y-3)^2-13
Isto mostra que f difere da distância ao ponto P=(2,3) apenas por uma constante.

Passo 4

No disco D, todo (x,y) satisfaz raizx^2+y^2<=2. Seja d a distância de (x,y) a P; do centro O=(0,0) a P temos
OP=raiz2^2+3^2=raiz13
A menor distância de P a um ponto de D é raiz13-2 e a maior é raiz13+2. Assim os valores de
l(x-2r)^2+(y-3)^2=d^2 variam entre
(raiz13-2)^2 e (raiz13+2)^2

Passo 5

Como f=d^2-13, os extremos em D são
fmin=(raiz13-2)^2-13 =17-4raiz13-13 =4-4raiz13,
ocorrendo no ponto de D mais próximo de P, isto é
l(x,yr) =2raiz13(2,3) =l(4raiz13,6raiz13r)
E
fmax=(raiz13+2)^2-13 =17+4raiz13-13 =4+4raiz13,
ocorrendo no ponto de D mais longe de P, ou seja
l(x,yr) =-2raiz13(2,3) =l(-4raiz13,-6raiz13r)

Resposta

O valor mínimo é
fmin=4-4raiz13
em l(tfrac4raiz13,tfrac6raiz13r),
e o valor máximo é
fmax=4+4raiz13
em l(-tfrac4raiz13,-tfrac6raiz13r).

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