Se e variam por e , encontrar a variação aproximada no ângulo .

Passo 1

O enunciado pede a variação aproximada De<atheta da função
theta = tan^-1!l(tfracyxr)
quando x sofre um incremento De<a x e y sofre um incremento De<a y.
Conteúdo: uso de diferencial total e derivadas parciais para funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos considerar theta=f(x,y) com
f(x,y)=arctan!l(tfracyxr)
Usamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais. Primeiro note que
partialpartial xarctan!l(tfracyxr) =11+(y/x)^2cdotpartialpartial xl(tfracyxr) =11+tfracy^2x^2cdotl(-yx^2r) =-yx^2+y^2
Em seguida,
partialpartial yarctan!l(tfracyxr) =11+(y/x)^2cdot1x =xx^2+y^2

Passo 3

A diferencial total de theta é
dtheta =partial thetapartial x,dx +partial thetapartial y,dy =-yx^2+y^2,dx +xx^2+y^2,dy
Na abordagem de variações finitas pequenas, dthetaapproxDe<atheta, dxapproxDe<a x e dyapproxDe<a y.

Passo 4

Substituindo dx=De<a x e dy=De<a y em dtheta, obtemos
De<atheta approx -yx^2+y^2,De<a x +xx^2+y^2,De<a y =-y,De<a x + x,De<a yx^2 + y^2

Resposta

De<a theta ;=;-y,De<a x ;+;x,De<a yx^2+y^2

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