Obtenha os pontos críticos de
, e clanéfique cos como pontos de máximo, mínimo ou sela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Encontrar os pontos críticos da função
. - Classificar cada ponto crítico como ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
- A função é
. - Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de
é nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui).
Passo 2
Definição e procedimento para achar pontos críticos (explicação didática):
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais: . - Pontos críticos obedecem ao sistema
- Vou calcular as derivadas parciais e resolver esse sistema passo a passo.
Cálculo das derivadas parciais:
Aqui
é a taxa de variação de
quando
muda mantendo
fixo, e
é análogo quando
varia com
fixo.
Passo 3
Resolver o sistema
.
Do primeiro:
Substituo em
:
Calculo passo a passo:
Multiplico por
para evitar frações:
Coloco em fator comum:
Portanto as soluções são
ou
.
Correspondentes
:
- Se
, então . Ponto crítico . - Se
, então
Ponto crítico
.
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Passo 4
Classificação via teste das segundas derivadas (Hessiano) — explicação didática:
- Calcule as segundas derivadas:
- O determinante do Hessiano é
Interpretação do teste:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora avalio em cada ponto.
No ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
No ponto
:
Aqui
e
, portanto esse ponto é um mínimo local.
Observação extra (útil na prova): posso também calcular os valores da função nesses pontos para ver comparação numérica.
-
. -
(cálculo: daria ), o que confirma que o segundo ponto tem valor menor que .