Obtenha os pontos críticos de f(x, y)=3 x y+x^{2}-2 y^{3}+1, e clanéfique cos como pontos de máximo, mínimo ou sela.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=3xy+x^{2}-2y^{3}+1.
  • Classificar cada ponto crítico como ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=3xy+x^{2}-2y^{3}+1.
  • Um ponto crítico é um ponto onde o gradiente de f é nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não ocorre aqui).

Passo 2

Definição e procedimento para achar pontos críticos (explicação didática):
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y).
  • Pontos críticos obedecem ao sistema
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
  • Vou calcular as derivadas parciais e resolver esse sistema passo a passo.
Cálculo das derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy+x^{2}-2y^{3}+1\big)=3y+2x,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy+x^{2}-2y^{3}+1\big)=3x-6y^{2}.
Aqui f_x é a taxa de variação de f quando x muda mantendo y fixo, e f_y é análogo quando y varia com x fixo.

Passo 3

Resolver o sistema \,f_x=0,\;f_y=0.
Do primeiro:
3y+2x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-3y \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{3}{2}y.
Substituo em f_y=0:
3x-6y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 3\!\left(-\frac{3}{2}y\right)-6y^{2}=0.
Calculo passo a passo:
-\frac{9}{2}y-6y^{2}=0.
Multiplico por 2 para evitar frações:
-9y-12y^{2}=0.
Coloco em fator comum:
-3y(3+4y)=0.
Portanto as soluções são y=0 ou 3+4y=0\Rightarrow y=-\tfrac{3}{4}.
Correspondentes x:
  • Se y=0, então x=-\tfrac{3}{2}\cdot 0=0. Ponto crítico \left(0,0\right).
  • Se y=-\tfrac{3}{4}, então
x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{8}.
Ponto crítico \left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\right).
Resumo dos pontos críticos encontrados:
\left(0,0\right),\qquad \left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\right).

Passo 4

Classificação via teste das segundas derivadas (Hessiano) — explicação didática:
  • Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(3y+2x)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(3x-6y^{2})=-12y,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(3y+2x)=3.
  • O determinante do Hessiano é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
Interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora avalio em cada ponto.
No ponto \left(0,0\right):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=-12\cdot 0=0,\qquad f_{xy}=3.
D(0,0)=2\cdot 0-3^{2}= -9 <0.
Como D(0,0)<0, o ponto \left(0,0\right) é um ponto de sela.
No ponto \left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\right):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=-12\left(-\tfrac{3}{4}\right)=9,\qquad f_{xy}=3.
D\!\left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\right)=2\cdot 9-3^{2}=18-9=9>0.
Aqui D>0 e f_{xx}=2>0, portanto esse ponto é um mínimo local.
Observação extra (útil na prova): posso também calcular os valores da função nesses pontos para ver comparação numérica.
  • f(0,0)=1.
  • f\!\left(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\right)=\dfrac{37}{64} (cálculo: daria -\tfrac{81}{32}+\tfrac{81}{64}+\tfrac{27}{32}+1=\tfrac{37}{64}), o que confirma que o segundo ponto tem valor menor que f(0,0).

Resposta

\,(0,0) — ponto de sela\n \,\big(\tfrac{9}{8},-\tfrac{3}{4}\big) — mínimo local

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