Em cada caso, encontre a série infinita que produz a sequência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente encontre a sua soma.
sn=5^n

Passo 1

O enunciado diz que a sequência de somas parciais de uma certa série é
sn=5^n,
ou seja, se os termos da série forem a1,a2,dots, então
sn=sumk=1^nak=5^n
Para achar a forma dos an vamos usar a relação fundamental
a1=s1, an=sn-sn-1(n>=2),
com s0=0.

Passo 2

Calculemos o primeiro termo e o termo genérico:
a1=s1=5^1=5,
e para n>=2,
an=sn-sn-1 =5^n-5^n-1 =5^n-1(5-1) =4cdot5^,n-1

Passo 3

Assim a série infinita é
sumn=1^inftyan =5+sumn=2^infty4cdot5^,n-1
Podemos também escrever, reindexando a partir de m=n-1,
sumn=1^inftyan =5+summ=1^infty4cdot5^,m =5+4summ=1^infty5^m

Passo 4

Para testar convergência, note que a soma parcial sn=5^n cresce sem limite quando ntoinfty. Logo
limntoinftysn =limntoinfty5^n =+infty,
portanto a série não converge, isto é, é divergente.

Resposta

A série cujo n-ésimo termo é
a1=5, an=4cdot5^,n-1 (n>=2)
tem soma parcial sn=5^n. Como limntoinfty5^n=+infty, a série é divergente.

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