Em cada caso, encontre a série infinita que produz a sequência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado diz que a sequência de somas parciais de uma certa série é
ou seja, se os termos da série forem
, então
Para achar a forma dos
vamos usar a relação fundamental
com
.
Passo 2
Calculemos o primeiro termo e o termo genérico:
e para
,
Passo 3
Assim a série infinita é
Podemos também escrever, reindexando a partir de
,
Passo 4
Para testar convergência, note que a soma parcial
cresce sem limite quando
. Logo
portanto a série não converge, isto é, é divergente.
Resposta
A série cujo
-ésimo termo é
tem soma parcial
. Como
, a série é divergente.