Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de
no intervalo dado.
, em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
no intervalo
. Queremos encontrar os extremos locais (interiores e de borda) e também os extremos absolutos. Para isso, vamos calcular a derivada, achar pontos críticos, classificar com a segunda derivada ou análise de sinal, e avaliar também nos endpoints.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira de
:
Os pontos críticos aparecem quando
.
Passo 3
Resolvendo
Como o domínio é
, fica apenas
como ponto crítico interior.
Passo 4
Para classificar
, usamos a segunda derivada:
Em
temos
, o que indica um mínimo local. Alternativamente, nota-se que para
vale
(função decresce) e para
vale
(função cresce), confirmando o mínimo em
.
Passo 5
Agora avaliamos
nos pontos de interesse:
Passo 6
Classificação dos extremos nas bordas pelo sinal de
:
- Em
: para temos , logo decresce saindo da borda, caracterizando um máximo local em . - Em
: para temos , logo cresce até a borda, caracterizando um máximo local em .
Passo 7
Para os extremos absolutos comparamos
O menor valor é
em
, logo mínimo absoluto em
. O maior valor é
em
, logo máximo absoluto em
.
Resposta
Local mínimo interior:
,
.
Local máximos de borda: ,
e
,
.
Mínimo absoluto: ,
.
Máximo absoluto: ,
.
Local máximos de borda:
Mínimo absoluto:
Máximo absoluto: