Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x+1x, em [0.2,4].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x+1x
no intervalo [0,2,4]. Queremos encontrar os extremos locais (interiores e de borda) e também os extremos absolutos. Para isso, vamos calcular a derivada, achar pontos críticos, classificar com a segunda derivada ou análise de sinal, e avaliar também nos endpoints.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=1 - 1x^2
Os pontos críticos aparecem quando f'(x)=0.

Passo 3

Resolvendo
1 - 1x^2=0 Longrightarrow 1x^2=1 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm1
Como o domínio é [0,2,4], fica apenas x=1 como ponto crítico interior.

Passo 4

Para classificar x=1, usamos a segunda derivada:
f''(x)=2x^3
Em x=1 temos f''(1)=2>0, o que indica um mínimo local. Alternativamente, nota-se que para 0,2<x<1 vale f'(x)<0 (função decresce) e para 1<x<4 vale f'(x)>0 (função cresce), confirmando o mínimo em x=1.

Passo 5

Agora avaliamos f nos pontos de interesse:
f(1)=1+11=2,
f(0,2)=0,2 + 10,2=0,2+5=5,2,
f(4)=4+14=4,25

Passo 6

Classificação dos extremos nas bordas pelo sinal de f':
  • Em x=0,2: para x>0,2 temos f'(x)<0, logo f decresce saindo da borda, caracterizando um máximo local em x=0,2.
  • Em x=4: para x<4 temos f'(x)>0, logo f cresce até a borda, caracterizando um máximo local em x=4.

Passo 7

Para os extremos absolutos comparamos
f(0,2)=5,2, f(1)=2, f(4)=4,25
O menor valor é 2 em x=1, logo mínimo absoluto em x=1. O maior valor é 5,2 em x=0,2, logo máximo absoluto em x=0,2.

Resposta

Local mínimo interior: x=1, f(1)=2.
Local máximos de borda: x=0,2, f(0,2)=5,2 e x=4, f(4)=4,25.
Mínimo absoluto: x=1, f(1)=2.
Máximo absoluto: x=0,2, f(0,2)=5,2.

Exercícios relacionados