Mostre que
dd x[raiz27 x^2+6 x-1x-3 arcsin (1-3 x6 x)]=1x^2 raiz27 x^2+6 x-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para
F(x)=raiz27x^2+6x-1x;-;3arcsin!gl(1-3x6xgr),
vale
F'(x)=1x^2raiz27x^2+6x-1
O que precisamos usar é: regra do produto/quociente para derivar raiz27x^2+6x-1/x, e regra da cadeia junto com a derivada de arcsin para a segunda parte.

Passo 2

Derivamos
A(x)=raiz27x^2+6x-1x
usando A(x)=x^-1cdot(27x^2+6x-1)^1/2. Temos
A'(x)=x^-1cdot12raiz27x^2+6x-1cdot(54x+6);+;(27x^2+6x-1)^1/2cdot(-x^-2)
Ou seja,
A'(x)=54x+62,xraiz27x^2+6x-1-raiz27x^2+6x-1x^2 =27x+3xraiz27x^2+6x-1-raiz27x^2+6x-1x^2
Colocando sobre o mesmo denominador x^2raiz27x^2+6x-1 obtemos
A'(x) =(27x+3)x-l(27x^2+6x-1r)x^2raiz27x^2+6x-1 =1-3xx^2raiz27x^2+6x-1

Passo 3

Agora derivamos
B(x)=3arcsin!gl(u(x)gr), u(x)=1-3x6x
Temos
u'(x) =ddxl(1-3x6xr) =-3cdot6x-(1-3x)cdot636x^2 =-16x^2
E
raiz1-u(x)^2 =raiz1-(1-3x)^236x^2 =raiz27x^2+6x-16x
Como ddxarcsin(u)=u'/raiz1-u^2, segue
B'(x) =3;-tfrac16x^2tfracraiz27x^2+6x-16x =-3xraiz27x^2+6x-1

Passo 4

Juntando as duas derivadas,
F'(x)=A'(x)-B'(x) =1-3xx^2raiz27x^2+6x-1 -l(-3xraiz27x^2+6x-1r)
Colocando tudo sobre x^2raiz27x^2+6x-1, o numerador fica
(1-3x)+3x=1. Logo
F'(x)=1x^2raiz27x^2+6x-1,
como queríamos mostrar.

Resposta

ddxl[tfracraiz27x^2+6x-1x-3arcsin!l(tfrac1-3x6xr)r] =1x^2raiz27x^2+6x-1

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