Mostre que
dd x[(x+1) arctan raizx-raizx]=arctan raizx

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função
f(x) = (x+1),arctanraizx ;-;raizx,
temos
ddxf(x) ;=;arctanraizx
O conteúdo usado será regra do produto e regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Separemos f(x) em duas parcelas:
f1(x) = (x+1),arctanraizx, f2(x)=raizx
Então
f'(x) = f1'(x) ;-; f2'(x)

Passo 3

Para f1(x)=(x+1),arctanraizx, aplicamos a regra do produto u(x)=x+1 e v(x)=arctanraizx.
Temos
u'(x)=1,
e pela regra da cadeia,
v'(x) = 11+(raizx)^2;cdot;ddxraizx = 11+x;cdot;12raizx = 12raizx,(1+x)
Logo,
f1'(x) = u'(x),v(x)+u(x),v'(x) = arctanraizx + (x+1),12raizx,(1+x) = arctanraizx + 12raizx

Passo 4

Para f2(x)=raizx, usamos regra da potência:
f2'(x) = ddxx^1/2 = tfrac12,x^-1/2 = 12raizx

Passo 5

Substituindo em f'(x)=f1'(x)-f2'(x), obtemos
f'(x) = l(arctanraizx + 12raizxr) - 12raizx = arctanraizx

Resposta

ddxl[(x+1)arctanraizx-raizxr] = arctanraizx

Exercícios relacionados