1. Ache a derivada implícita \left(\frac{d y}{d x}\right) das seguintes funções:
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25}

Passo 1

O enunciado dá a equação \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25} e pede a derivada implícita \left(\dfrac{d y}{d x}\right).
Informações relevantes:
  • A equação é \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25}.
  • Note que \sqrt{25}=5, então a igualdade pode ser escrita como \sqrt{x}+\sqrt{y}=5.
  • Domínio natural: \;x\ge0 e \;y\ge0 (porque aparecem raízes quadradas).

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (implicitamente, passo a passo e sem pular etapas):
  • Quando temos uma relação entre x e y dada implicitamente (como \sqrt{x}+\sqrt{y}=5), diferenciamos ambos os lados em relação a x.
  • Regra importante: a derivada da função composta \sqrt{u(x)} é dada pela regra da cadeia. Em termos gerais,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{u(x)}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui \,u(x)\, é alguma função de x; o primeiro fator \dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}} é a derivada de \sqrt{u} em relação a u e o segundo fator \dfrac{du}{dx} aparece pela cadeia.
  • No nosso caso, \sqrt{x} é \sqrt{u} com u=x, então \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para \sqrt{y}, y depende de x (pois y=y(x) implícito), então devemos aplicar a cadeia: \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{y}\bigr)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 em relação a x, aplicando as observações do passo anterior:
Derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{y}\bigr)=\frac{d}{dx}(5).
Usando as fórmulas,
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}=0,
pois \dfrac{d}{dx}(5)=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro, subtrai-se o primeiro termo:
\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Multiplicamos ambos os lados por 2\sqrt{y} para livrar do denominador:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{y}.
Os fatores 2 cancelam:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Interpretação final e forma alternativa:
  • A forma obtida é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.
  • Alternativamente pode-se escrever \dfrac{dy}{dx}=-\sqrt{\dfrac{y}{x}}.
  • Lembre-se do domínio: essa expressão faz sentido para x>0 e y\ge0 (para x=0 há divisão por zero).
Força aí — você conseguiu derivar implicitamente uma relação envolvendo raízes! Se quiser, eu mostro também como encontrar y'(x) em função só de x substituindo y=(5-\sqrt{x})^2, passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}

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