- Ache a derivada implícita
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a derivada implícita
.
Informações relevantes:
- A equação é
. - Note que
, então a igualdade pode ser escrita como . - Domínio natural:
e (porque aparecem raízes quadradas).
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (implicitamente, passo a passo e sem pular etapas):
- Quando temos uma relação entre
e dada implicitamente (como ), diferenciamos ambos os lados em relação a . - Regra importante: a derivada da função composta
é dada pela regra da cadeia. Em termos gerais,
Aqui
é alguma função de
; o primeiro fator
é a derivada de
em relação a
e o segundo fator
aparece pela cadeia.
- No nosso caso,
é com , então . - Para
, depende de (pois implícito), então devemos aplicar a cadeia: .
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade
em relação a
, aplicando as observações do passo anterior:
Derivando termo a termo,
Usando as fórmulas,
pois
.
Passo 4
Isolamos
. Primeiro, subtrai-se o primeiro termo:
Multiplicamos ambos os lados por
para livrar do denominador:
Os fatores
cancelam:
Passo 5
Interpretação final e forma alternativa:
- A forma obtida é
. - Alternativamente pode-se escrever
. - Lembre-se do domínio: essa expressão faz sentido para
e (para há divisão por zero).
Força aí — você conseguiu derivar implicitamente uma relação envolvendo raízes! Se quiser, eu mostro também como encontrar
em função só de
substituindo
, passo a passo.