(1,0) Encontre os valores de máximo e mínimo local e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se encontrem:
- os valores de mínimo local (se existirem);
- os valores de máximo local (se existirem);
- os pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
- a função
está definida para todos ; - é necessário achar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e depois classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo didático):
- Um ponto crítico de
é um ponto onde as derivadas parciais primeiras são zero: . - Escrevendo isso em componentes, precisa-se resolver o sistema
Agora calculamos as derivadas parciais.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras (mostrando cada termo):
Portanto o sistema para pontos críticos é
Passo 4
Resolver o sistema pelas duas equações (fatorando e fazendo casos):
Da primeira equação temos duas possibilidades:
Da primeira equação
- Caso A:
. - Caso B:
, ou seja .
Tratar cada caso substituindo na segunda equação
.
Passo 5
Caso A:
.
Substituindo em obtemos
, logo
.
Assim um ponto crítico é .
Substituindo em
Assim um ponto crítico é
Caso B:
.
Substituindo em obtemos
.
Logo . Assim dois pontos críticos são
e
.
Substituindo em
Logo
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Passo 6
Como classificar um ponto crítico? (aula curtinha)
- Para funções de duas variáveis usa-se a matriz Hessiana das segundas derivadas e o discriminante
As regras (teste de segunda derivada em 2D):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 7
Calcular as segundas derivadas (componentes da Hessiana):
Portanto
Passo 8
Classificar
:
-
. -
. -
. -
.
Comoe , pelo teste, é um mínimo local.
Valor da função em:
Passo 9
Classificar
:
- Para
temos . - Para
temos . -
como antes. - Então
Como
, cada ponto
e
é um ponto de sela.
Valor da função nesses pontos:
Valor da função nesses pontos:
Resposta
Mínimo local:
com valor
.
Máximo local: nenhum.
Pontos de sela: e
, ambos com valor
.
Máximo local: nenhum.
Pontos de sela: