(1,0) Encontre os valores de máximo e mínimo local e pontos de sela da função
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+x^{2} y+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4
e pede que se encontrem:
  • os valores de mínimo local (se existirem);
  • os valores de máximo local (se existirem);
  • os pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • a função f está definida para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2};
  • é necessário achar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e depois classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo didático):
  • Um ponto crítico de f é um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras são zero: \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.
  • Escrevendo isso em componentes, precisa-se resolver o sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Agora calculamos as derivadas parciais.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais primeiras (mostrando cada termo):
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4\bigr) =2x+2xy = 2x(1+y).
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4\bigr) =2y+x^{2}.
Portanto o sistema para pontos críticos é
2x(1+y)=0,\qquad 2y+x^{2}=0.

Passo 4

Resolver o sistema pelas duas equações (fatorando e fazendo casos):
Da primeira equação 2x(1+y)=0 temos duas possibilidades:
  • Caso A: x=0.
  • Caso B: 1+y=0, ou seja y=-1.
Tratar cada caso substituindo na segunda equação 2y+x^{2}=0.

Passo 5

Caso A: x=0.
Substituindo em 2y+x^{2}=0 obtemos 2y+0=0, logo y=0.
Assim um ponto crítico é (0,0).
Caso B: y=-1.
Substituindo em 2y+x^{2}=0 obtemos 2(-1)+x^{2}=0\Rightarrow -2+x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=2.
Logo x=\pm\sqrt{2}. Assim dois pontos críticos são \bigl(\sqrt{2},-1\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},-1\bigr).
Resumo dos pontos críticos encontrados:
(0,0),\qquad \bigl(\sqrt{2},-1\bigr),\qquad \bigl(-\sqrt{2},-1\bigr).

Passo 6

Como classificar um ponto crítico? (aula curtinha)
  • Para funções de duas variáveis usa-se a matriz Hessiana das segundas derivadas e o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
As regras (teste de segunda derivada em 2D):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 7

Calcular as segundas derivadas (componentes da Hessiana):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+2xy\bigr)=2+2y,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y+x^{2}\bigr)=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x+2xy\bigr)=2x.
Portanto
D(x,y)=(2+2y)\cdot 2 - (2x)^{2} = 4+4y-4x^{2}=4\bigl(1+y-x^{2}\bigr).

Passo 8

Classificar (0,0):
  • f_{xx}(0,0)=2+2\cdot 0=2.
  • f_{yy}(0,0)=2.
  • f_{xy}(0,0)=2\cdot 0=0.
  • D(0,0)=2\cdot 2-0^{2}=4>0.
    Como D>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste, (0,0) é um mínimo local.
    Valor da função em (0,0):
f(0,0)=0^{2}+0^{2}+0^{2}\cdot 0+4=4.

Passo 9

Classificar \bigl(\pm\sqrt{2},-1\bigr):
  • Para y=-1 temos f_{xx}=2+2(-1)=0.
  • Para x=\pm\sqrt{2} temos f_{xy}=2x=\pm 2\sqrt{2}.
  • f_{yy}=2 como antes.
  • Então
D\bigl(\pm\sqrt{2},-1\bigr)=0\cdot 2 - (\pm 2\sqrt{2})^{2} = -8 <0.
Como D<0, cada ponto \bigl(\sqrt{2},-1\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},-1\bigr) é um ponto de sela.
Valor da função nesses pontos:
f\bigl(\pm\sqrt{2},-1\bigr)=(\pm\sqrt{2})^{2}+(-1)^{2}+(\pm\sqrt{2})^{2}(-1)+4 =2+1-2+4=5.

Resposta

Mínimo local: (0,0) com valor 4.
Máximo local: nenhum.
Pontos de sela: \bigl(\sqrt{2},-1\bigr) e \bigl(-\sqrt{2},-1\bigr), ambos com valor 5.

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