Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem no ponto
.
Informações relevantes:
- A função está definida em termos de
e . - É preciso calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
e então avaliar cada uma em . - Não há restrições adicionais nem outras informações fornecidas.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Derivada parcial em relação a
: diferenciar tratando como constante. Derivada parcial em relação a : diferenciar tratando como constante. - Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
e , então
- Para funções compostas do tipo
a derivada parcial em relação a é e em relação a é , porque e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo.
Começando por
.
Aplicando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
- derivada de
em relação a é , multiplicada por ; - mais
vezes a derivada de em relação a , que pela regra da cadeia é .
Logo,
Agora
.
Aqui é tratado como constante, então sai fator
e resta derivar
em relação a
:
Aqui
Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem a partir das primeiras derivadas.
-
.
- Derivada de
em relação a é . - Para
usamos regra do produto: derivada de é vezes mais vezes a derivada de em . A derivada de em é .
Assim:
Agrupando:
-
.
- Derivada de
em : . - Derivada de
em : é constante, multiplica a derivada de em , que é .
Logo:
-
.
Aplicando regra do produto (o fator
sai):
- derivada de
é vezes ; - mais
vezes derivada de em , que é .
Multiplicando pelo:
Observação: confirma-se que
, como esperado quando as segundas derivadas são contínuas (teorema de Clairaut).
-
.
Aqui
é constante em relação a
, e derivada de
em
é
. Assim:
Passo 5
Avaliar cada uma em
. Note que
em
vale
. Vamos substituir
e
nas expressões obtidas.
- Para
:
- Para
:
- Para
(deveria ser igual a ):
- Para
: