(1,0) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
f(x, y)=x \operatorname{sen}(x+2 y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\sin(x+2y)
e pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (1,0).
Informações relevantes:
  • A função está definida em termos de x e y.
  • É preciso calcular as derivadas parciais de segunda ordem: f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} e então avaliar cada uma em (1,0).
  • Não há restrições adicionais nem outras informações fornecidas.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Derivada parcial em relação a x: diferenciar tratando y como constante. Derivada parcial em relação a y: diferenciar tratando x como constante.
  • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia: se g(t)=\sin(t) e t=h(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x}\sin(h(x,y))=\cos(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}.
  • Para funções compostas do tipo \sin(x+2y) a derivada parcial em relação a x é \cos(x+2y)\cdot 1 e em relação a y é \cos(x+2y)\cdot 2, porque \partial(x+2y)/\partial x=1 e \partial(x+2y)/\partial y=2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo.
Começando por \displaystyle f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(x+2y)\bigr).
Aplicando a regra do produto:
  • derivada de x em relação a x é 1, multiplicada por \sin(x+2y);
  • mais x vezes a derivada de \sin(x+2y) em relação a x, que pela regra da cadeia é \cos(x+2y)\cdot 1.
    Logo,
f_x=\sin(x+2y)+x\cos(x+2y).
Agora \displaystyle f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sin(x+2y)\bigr).
Aqui x é tratado como constante, então sai fator x e resta derivar \sin(x+2y) em relação a y:
f_y = x\cdot\cos(x+2y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=x\cos(x+2y)\cdot 2.
Portanto
f_y=2x\cos(x+2y).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem a partir das primeiras derivadas.
  1. \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(x+2y)+x\cos(x+2y)\bigr).
  • Derivada de \sin(x+2y) em relação a x é \cos(x+2y)\cdot 1.
  • Para x\cos(x+2y) usamos regra do produto: derivada de x é 1 vezes \cos(x+2y) mais x vezes a derivada de \cos(x+2y) em x. A derivada de \cos(x+2y) em x é -\sin(x+2y)\cdot 1.
    Assim:
f_{xx}=\cos(x+2y)+\cos(x+2y)+x\bigl(-\sin(x+2y)\bigr).
Agrupando:
f_{xx}=2\cos(x+2y)-x\sin(x+2y).
  1. \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}f_x=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(x+2y)+x\cos(x+2y)\bigr).
  • Derivada de \sin(x+2y) em y: \cos(x+2y)\cdot 2.
  • Derivada de x\cos(x+2y) em y: x é constante, multiplica a derivada de \cos(x+2y) em y, que é -\sin(x+2y)\cdot 2.
    Logo:
f_{xy}=2\cos(x+2y)-2x\sin(x+2y).
  1. \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}f_y=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\cos(x+2y)\bigr).
Aplicando regra do produto (o fator 2 sai):
  • derivada de x é 1 vezes \cos(x+2y);
  • mais x vezes derivada de \cos(x+2y) em x, que é -\sin(x+2y)\cdot 1.
    Multiplicando pelo 2:
f_{yx}=2\bigl(\cos(x+2y)-x\sin(x+2y)\bigr)=2\cos(x+2y)-2x\sin(x+2y).
Observação: confirma-se que f_{xy}=f_{yx}, como esperado quando as segundas derivadas são contínuas (teorema de Clairaut).
  1. \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\cos(x+2y)\bigr).
Aqui 2x é constante em relação a y, e derivada de \cos(x+2y) em y é -\sin(x+2y)\cdot 2. Assim:
f_{yy}=2x\cdot\bigl(-\sin(x+2y)\cdot 2\bigr)=-4x\sin(x+2y).

Passo 5

Avaliar cada uma em (1,0). Note que x+2y em (1,0) vale 1+2\cdot 0=1. Vamos substituir x=1 e x+2y=1 nas expressões obtidas.
  • Para f_{xx}(1,0):
f_{xx}(1,0)=2\cos(1)-1\cdot\sin(1)=2\cos(1)-\sin(1).
  • Para f_{xy}(1,0):
f_{xy}(1,0)=2\cos(1)-2\cdot 1\cdot\sin(1)=2\cos(1)-2\sin(1).
  • Para f_{yx}(1,0) (deveria ser igual a f_{xy}(1,0)):
f_{yx}(1,0)=2\cos(1)-2\sin(1).
  • Para f_{yy}(1,0):
f_{yy}(1,0)=-4\cdot 1\cdot\sin(1)=-4\sin(1).

Resposta

f_{xx}(1,0)=2\cos(1)-\sin(1)
f_{xy}(1,0)=2\cos(1)-2\sin(1)
f_{yx}(1,0)=2\cos(1)-2\sin(1)
f_{yy}(1,0)=-4\sin(1)

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