Seja G(u, v)=g(x, y) em que x=u v^{2}, y=u+v e g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule \frac{\partial G}{\partial u}(1,1) e \frac{\partial G}{\partial v}(1,1) sabendo que \frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=1 e \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)=2.
Passo 1
O enunciado fornece:
A função composta G(u,v)=g(x,y) comx = u v^{2},\qquad y = u+v.
A função g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é diferenciável.
Valores das derivadas parciais de g no ponto (x,y)=(1,2):\frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=1,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)=2.
Conceito que vamos usar (regra da cadeia para derivadas parciais):
Se G(u,v)=g\big(x(u,v),y(u,v)\big) e g é diferenciável, então as derivadas parciais de G são dadas por
Explicando devagar: \frac{\partial g}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big) é a taxa de variação de g quando x muda (mantendo y fixo), avaliada no ponto (x(u,v),y(u,v)). O fator \frac{\partial x}{\partial u} traduz quanto x muda quando u muda — por isso multiplicamos, somando o termo análogo para y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v).
Como x(u,v)=u v^{2}, temos\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)=v^{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial v}(u,v)=2u v.(Aqui derivou-se u v^{2} em relação a u considerando v constante, resultando em v^{2}; e em relação a v considerando u constante, resultando em 2u v.)
Como y(u,v)=u+v, temos\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}(u,v)=1.(Porque u+v é linear em cada variável.)
Passo 4
Avaliar x e y no ponto (u,v)=(1,1) para saber onde usar as derivadas parciais de g:
x(1,1)=1\cdot 1^{2}=1,\qquad y(1,1)=1+1=2.
Portanto as derivadas parciais de g que aparecem na regra da cadeia devem ser avaliadas em (1,2). Esses valores foram dados no enunciado: