Seja G(u, v)=g(x, y) em que x=u v^{2}, y=u+v e g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule \frac{\partial G}{\partial u}(1,1) e \frac{\partial G}{\partial v}(1,1) sabendo que \frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=1 e \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)=2.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função composta G(u,v)=g(x,y) com x = u v^{2},\qquad y = u+v.
  • A função g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é diferenciável.
  • Valores das derivadas parciais de g no ponto (x,y)=(1,2): \frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=1,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)=2.
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}(1,1).
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}(1,1).

Passo 2

Conceito que vamos usar (regra da cadeia para derivadas parciais):
Se G(u,v)=g\big(x(u,v),y(u,v)\big) e g é diferenciável, então as derivadas parciais de G são dadas por
\frac{\partial G}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial g}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) + \frac{\partial g}{\partial y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(u,v),
\frac{\partial G}{\partial v}(u,v) = \frac{\partial g}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial x}{\partial v}(u,v) + \frac{\partial g}{\partial y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial y}{\partial v}(u,v).
Explicando devagar: \frac{\partial g}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big) é a taxa de variação de g quando x muda (mantendo y fixo), avaliada no ponto (x(u,v),y(u,v)). O fator \frac{\partial x}{\partial u} traduz quanto x muda quando u muda — por isso multiplicamos, somando o termo análogo para y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v).
  • Como x(u,v)=u v^{2}, temos \frac{\partial x}{\partial u}(u,v)=v^{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial v}(u,v)=2u v.(Aqui derivou-se u v^{2} em relação a u considerando v constante, resultando em v^{2}; e em relação a v considerando u constante, resultando em 2u v.)
  • Como y(u,v)=u+v, temos \frac{\partial y}{\partial u}(u,v)=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}(u,v)=1.(Porque u+v é linear em cada variável.)

Passo 4

Avaliar x e y no ponto (u,v)=(1,1) para saber onde usar as derivadas parciais de g:
x(1,1)=1\cdot 1^{2}=1,\qquad y(1,1)=1+1=2.
Portanto as derivadas parciais de g que aparecem na regra da cadeia devem ser avaliadas em (1,2). Esses valores foram dados no enunciado:
\frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=1,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)=2.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}(1,1) usando a fórmula da cadeia e os valores encontrados.
Substituindo na fórmula:
\frac{\partial G}{\partial u}(1,1) = \frac{\partial g}{\partial x}(1,2)\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(1,1) + \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(1,1).
Agora os valores:
\frac{\partial x}{\partial u}(1,1)=v^{2}\Big|_{(1,1)}=1^{2}=1, \qquad \frac{\partial y}{\partial u}(1,1)=1.
Então
\frac{\partial G}{\partial u}(1,1)=1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}(1,1) da mesma forma.
A fórmula e substituições:
\frac{\partial G}{\partial v}(1,1) = \frac{\partial g}{\partial x}(1,2)\cdot\frac{\partial x}{\partial v}(1,1) + \frac{\partial g}{\partial y}(1,2)\cdot\frac{\partial y}{\partial v}(1,1).
Valores:
\frac{\partial x}{\partial v}(1,1)=2u v\Big|_{(1,1)}=2\cdot 1\cdot 1=2, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}(1,1)=1.
Logo
\frac{\partial G}{\partial v}(1,1)=1\cdot 2 + 2\cdot 1 = 2 + 2 = 4.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u}(1,1)=3
\displaystyle \frac{\partial G}{\partial v}(1,1)=4

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