Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=(\operatorname{sen}(x)+\cos (y))^{2} e A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{;}-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right. e \left.-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f\colon A \to \mathbb{R} definida por \;f(x,y)=(\sin x+\cos y)^{2}.
  • O conjunto A é o retângulo fechado
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2},\; -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}\right\}.
O que o problema pede:
  • Encontrar o valor máximo de f em A e os pontos onde ele ocorre.
  • Encontrar o valor mínimo de f em A e os pontos onde ele ocorre.
Informações úteis extraídas do enunciado (lista):
  • \sin x e \cos y aparecem combinados em soma dentro de um quadrado.
  • Nos intervalos dados: \sin x\in[-1,1] para x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] e \cos y\in[0,1] para y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 2

Por que faz sentido procurar pontos críticos e também olhar as bordas?
  • A função f é contínua em A (composição de funções contínuas) e A é compacto (fechado e limitado). Pelo teorema (valor máximo e mínimo em conjuntos compactos), f atinge máximo e mínimo em A.
    Isso diz que eles existem e que basta procurar candidatos entre:
    1. pontos críticos no interior (onde o gradiente é zero), e
    2. pontos da fronteira (onde precisamos analisar funções de uma variável).
      Vou primeiro achar os pontos críticos, depois examinar as bordas para garantir que não escape nenhum extremo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (usar regra da cadeia e derivadas básicas).
  • Defina g(x,y)=\sin x+\cos y. Então f(x,y)=g(x,y)^2.
  • Derivada de g em relação a x: \dfrac{\partial g}{\partial x}=\cos x.
  • Derivada de g em relação a y: \dfrac{\partial g}{\partial y}=-\sin y.
  • Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de f são
\frac{\partial f}{\partial x}=2g(x,y)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}=2(\sin x+\cos y)\cos x,
\frac{\partial f}{\partial y}=2g(x,y)\cdot\frac{\partial g}{\partial y}=2(\sin x+\cos y)(-\,\sin y)=-2(\sin x+\cos y)\sin y.
Escrevendo de forma compacta:
\frac{\partial f}{\partial x}=2(\sin x+\cos y)\cos x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2(\sin x+\cos y)\sin y.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=(0,0) (pontos críticos).
O sistema é
2(\sin x+\cos y)\cos x=0, \qquad -2(\sin x+\cos y)\sin y=0.
Dividindo por 2 (não zero) temos
(\sin x+\cos y)\cos x=0, \qquad (\sin x+\cos y)\sin y=0.
Cada equação é produto; para que ambas sejam zero existem basicamente duas possibilidades:
  • Caso (I): \sin x+\cos y=0. Nesse caso ambas equações ficam satisfeitas simultaneamente.
  • Caso (II): \sin x+\cos y\neq0. Então devemos ter \cos x=0 e \sin y=0 simultaneamente.
Vou tratar cada caso.

Passo 5

Estudar o Caso (II): \cos x=0 e \sin y=0.
  • \cos x=0 em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] ocorre em x=\pm\dfrac{\pi}{2}.
  • \sin y=0 em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] ocorre em y=0.
    Portanto os pontos candidatos desse caso são
\left(\frac{\pi}{2},0\right)\quad\text{e}\quad\left(-\frac{\pi}{2},0\right).
Avaliar f nesses pontos:
f\!\left(\frac{\pi}{2},0\right)=(\sin\!\tfrac{\pi}{2}+\cos 0)^2=(1+1)^2=4,
f\!\left(-\frac{\pi}{2},0\right)=(\sin(-\tfrac{\pi}{2})+\cos 0)^2=(-1+1)^2=0.
Então \left(\frac{\pi}{2},0\right) é candidato a máximo (valor 4) e \left(-\frac{\pi}{2},0\right) é candidato a mínimo (valor 0).

Passo 6

Estudar o Caso (I): \sin x+\cos y=0.
Isto é a equação
\cos y=-\sin x.
Observações sobre essa equação no domínio:
  • Para y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] temos \cos y\in[0,1]. Então -\sin x deve estar em [0,1]. Isso implica \sin x\in[-1,0], logo x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right].
  • Para cada x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right] o número c:=-\sin x está em [0,1]. A equação \cos y=c tem, dentro de \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], as soluções
y=\operatorname{arccos}\text{(c)}\quad\text{e}\quad y=-\operatorname{arccos}\text{(c)},
pois \cos é par. Substituindo c=-\sin x obtemos as duas curvas simétricas
y=\pm\operatorname{arccos}\bigl(-\sin x\bigr),\qquad x\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right].
  • Para extremos do intervalo: se x=-\dfrac{\pi}{2} então \sin x=-1 e c=1 dando y=0. Se x=0 então \sin x=0 e c=0 dando y=\pm\dfrac{\pi}{2}.
    Em todos esses pontos vale \sin x+\cos y=0, portanto f=(\sin x+\cos y)^2=0.
Conclusão do Caso (I): toda a curva definida por
\{(x,y)\in A\mid \sin x+\cos y=0\}= \left\{(x,y)\mid x\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right],\; y=\pm\operatorname{arccos}\bigl(-\sin x\bigr)\right\}
consiste em pontos críticos onde f=0.

Passo 7

Reunir candidatos e comparar valores; fazer uma verificação nas bordas (segurança).
Candidatos encontrados:
  • Pontos do Caso (I): toda a curva onde \sin x+\cos y=0, com f=0.
  • Pontos do Caso (II): \left(\frac{\pi}{2},0\right) com f=4 e \left(-\frac{\pi}{2},0\right) com f=0.
Verificação rápida nas fronteiras (para não perder nenhum extremo):
  • Para x=\dfrac{\pi}{2} temos f(\tfrac{\pi}{2},y)=(1+\cos y)^2 com \cos y\in[0,1]. Logo (1+\cos y)\in[1,2] e (1+\cos y)^2\in[1,4]. Máximo é 4 em y=0, mínimo é 1 em y=\pm\frac{\pi}{2}.
  • Para x=-\dfrac{\pi}{2} temos f(-\tfrac{\pi}{2},y)=(-1+\cos y)^2 com \cos y\in[0,1]. Então -1+\cos y\in[-1,0] e o quadrado está em [0,1]. Mínimo 0 em y=0, máximo 1 em y=\pm\frac{\pi}{2}.
  • Para y=\pm\dfrac{\pi}{2} temos f(x,\pm\tfrac{\pi}{2})=(\sin x+0)^2=\sin^2 x\in[0,1].
    Estas verificações mostram que nenhum ponto da fronteira tem valor maior que 4, e o valor 0 já aparece nas curvas dos pontos críticos. Portanto os extremos globais já foram encontrados entre os candidatos.

Passo 8

Conclusões finais a partir das comparações:
  • O maior valor encontrado é 4 e ocorre em \left(\dfrac{\pi}{2},0\right). Não há outro ponto do domínio que produza 4 (porque para obter 4 é necessário \sin x+\cos y=2, e isso exige \sin x=1 e \cos y=1, que só acontece em x=\dfrac{\pi}{2} e y=0).
  • O menor valor encontrado é 0 e ocorre em todos os pontos que satisfazem \sin x+\cos y=0. Esse conjunto foi descrito explicitamente no Passo 6: para x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right] temos y=\pm\operatorname{arccos}\bigl(-\sin x\bigr) (incluindo os pontos extremos \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right) e \left(0,\pm\dfrac{\pi}{2}\right)).

Resposta

Máximo: 4 atingido em \left(\dfrac{\pi}{2},0\right).
Mínimo: 0 atingido em \{(x,y)\in A:\sin x+\cos y=0\}=\left\{(x,y)\mid x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},0\right],\; y=\pm\operatorname{arccos}\bigl(-\sin x\bigr)\right\}.

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