Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
e
e
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
definida por . - O conjunto
é o retângulo fechado
O que o problema pede:
- Encontrar o valor máximo de
em e os pontos onde ele ocorre. - Encontrar o valor mínimo de
em e os pontos onde ele ocorre.
Informações úteis extraídas do enunciado (lista):
-
e aparecem combinados em soma dentro de um quadrado. - Nos intervalos dados:
para e para .
Passo 2
Por que faz sentido procurar pontos críticos e também olhar as bordas?
- A função
é contínua em (composição de funções contínuas) e é compacto (fechado e limitado). Pelo teorema (valor máximo e mínimo em conjuntos compactos), atinge máximo e mínimo em .
Isso diz que eles existem e que basta procurar candidatos entre:- pontos críticos no interior (onde o gradiente é zero), e
- pontos da fronteira (onde precisamos analisar funções de uma variável).
Vou primeiro achar os pontos críticos, depois examinar as bordas para garantir que não escape nenhum extremo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (usar regra da cadeia e derivadas básicas).
- Defina
. Então . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : . - Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de
são
Escrevendo de forma compacta:
Passo 4
Resolver o sistema
(pontos críticos).
O sistema é
O sistema é
Dividindo por
(não zero) temos
Cada equação é produto; para que ambas sejam zero existem basicamente duas possibilidades:
- Caso (I):
. Nesse caso ambas equações ficam satisfeitas simultaneamente. - Caso (II):
. Então devemos ter e simultaneamente.
Vou tratar cada caso.
Passo 5
Estudar o Caso (II):
e
.
-
em ocorre em . -
em ocorre em .
Portanto os pontos candidatos desse caso são
Avaliar
nesses pontos:
Então
é candidato a máximo (valor
) e
é candidato a mínimo (valor
).
Passo 6
Estudar o Caso (I):
.
Isto é a equação
Isto é a equação
Observações sobre essa equação no domínio:
- Para
temos . Então deve estar em . Isso implica , logo . - Para cada
o número está em . A equação tem, dentro de , as soluções
pois
é par. Substituindo
obtemos as duas curvas simétricas
- Para extremos do intervalo: se
então e dando . Se então e dando .
Em todos esses pontos vale, portanto .
Conclusão do Caso (I): toda a curva definida por
consiste em pontos críticos onde
.
Passo 7
Reunir candidatos e comparar valores; fazer uma verificação nas bordas (segurança).
Candidatos encontrados:
Candidatos encontrados:
- Pontos do Caso (I): toda a curva onde
, com . - Pontos do Caso (II):
com e com .
Verificação rápida nas fronteiras (para não perder nenhum extremo):
- Para
temos com . Logo e . Máximo é em , mínimo é em . - Para
temos com . Então e o quadrado está em . Mínimo em , máximo em . - Para
temos .
Estas verificações mostram que nenhum ponto da fronteira tem valor maior que, e o valor já aparece nas curvas dos pontos críticos. Portanto os extremos globais já foram encontrados entre os candidatos.
Passo 8
Conclusões finais a partir das comparações:
- O maior valor encontrado é
e ocorre em . Não há outro ponto do domínio que produza (porque para obter é necessário , e isso exige e , que só acontece em e ). - O menor valor encontrado é
e ocorre em todos os pontos que satisfazem . Esse conjunto foi descrito explicitamente no Passo 6: para temos (incluindo os pontos extremos e ).
Resposta
Máximo:
atingido em
.
Mínimo: atingido em
.
Mínimo: