Calcule:
integral x^2raiz4-3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2raiz4-3x,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos um polinômio no numerador e uma raiz de uma expressão linear no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - 3x
Logo,
x = 4 - u3, dx = -du3, raiz4-3x = raizu

Passo 3

Expressamos x^2 e dx em função de u:
x^2 = l(4 - u3r)^2 = (4 - u)^29, dx = -du3
Substituindo na integral,
integral x^2raiz4-3x,dx = integral (4 - u)^29raizul(-du3r) = -127integral (4 - u)^2,u^-tfrac12,du

Passo 4

Expandimos o integrando:
(4 - u)^2,u^-tfrac12 = (16 - 8u + u^2),u^-tfrac12 = 16,u^-tfrac12 ;-; 8,u^tfrac12 ;+; u^tfrac32
Então
-127integral (4 - u)^2,u^-tfrac12,du = -127integrall(16,u^-tfrac12 - 8,u^tfrac12 + u^tfrac32r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 16,u^-tfrac12,du = 16cdotu^tfrac12tfrac12 = 32,u^tfrac12,
integral -8,u^tfrac12,du = -8cdotu^tfrac32tfrac32 = -163,u^tfrac32,
integral u^tfrac32,du = u^tfrac52tfrac52 = 25,u^tfrac52
Somando,
integrall(16,u^-tfrac12 - 8,u^tfrac12 + u^tfrac32r),du = 32,u^tfrac12 ;-;tfrac163,u^tfrac32 ;+;tfrac25,u^tfrac52

Passo 6

Multiplicando por -tfrac127,
-127l(32,u^tfrac12 - tfrac163,u^tfrac32 + tfrac25,u^tfrac52r) = -3227,u^tfrac12 + 1681,u^tfrac32 - 2135,u^tfrac52 + C

Passo 7

Voltando a x com u = 4 - 3x, obtemos a antiderivada final:
-3227,raiz4-3x ;+;1681,(4-3x)^tfrac32 ;-;2135,(4-3x)^tfrac52 ;+;C

Resposta

boxed -3227,raiz4-3x ;+;1681,(4-3x)^tfrac32 ;-;2135,(4-3x)^tfrac52 ;+;C

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