Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado:
(f) f(x)=x-\ln (x), \quad[1 / 2,2].

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x-\ln(x)\; definida no intervalo fechado \;\left[1/2,2\right]\; e pede os valores máximos e mínimos absolutos de f nesse intervalo.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{Domínio considerado: }\left[1/2,2\right].í
\text{Função: }f(x)=x-\ln(x).çã
\text{O que se pede: máximo absoluto e mínimo absoluto de }f\text{ em }\left[1/2,2\right].áí

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): numa função contínua em um intervalo fechado, máximos e mínimos absolutos existem (Teorema do Valor Extremo). Para encontrá-los, a prática padrão é:
  1. calcular os pontos críticos dentro do intervalo (onde f'(x)=0 ou f' não existe);
  2. calcular os valores de f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo;
  3. comparar esses valores — o maior é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.\n
    Vou aplicar exatamente esses passos, explicando cada fórmula usada.

Passo 3

Calculemos a derivada f'(x) e encontremos os pontos críticos.\n
Primeiro, lembrar regra básica: a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} (para x>0). A derivada de x é 1. Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-\ln(x)\bigr)=1-\frac{1}{x}.
Colocando numa única fração:
f'(x)=\frac{x-1}{x}.
Ponto crítico é onde f'(x)=0 ou f' não existe. Aqui f' existe para x>0, logo em nosso intervalo. Resolver f'(x)=0:
\frac{x-1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Portanto há um único ponto crítico dentro de [1/2,2], que é x=1.

Passo 4

Classificação do ponto crítico usando o sinal de f'(x) (interpretação didática): se f' muda de negativo para positivo em x=1, então f tem mínimo local em 1; se muda de positivo para negativo há máximo local. Vamos ver o sinal de f'(x)=\dfrac{x-1}{x} nas duas partes do intervalo:
  • Para x\in(1/2,1): x-1<0 e x>0 então f'(x)<0. Logo f está decrescendo antes de 1.
  • Para x\in(1,2): x-1>0 e x>0 então f'(x)>0. Logo f está crescendo depois de 1.
    Assim f' muda de negativo para positivo em x=1, o que indica que x=1 é um mínimo (local). Como estamos num intervalo fechado e f é contínua, esse mínimo local é candidato a mínimo absoluto.
Observação alternativa (curtinha): a segunda derivada é f''(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0 em todo o intervalo, o que confirma que f é convexa e que qualquer ponto crítico é mínimo.

Passo 5

Agora avaliaremos f nos pontos relevantes: extremos do intervalo x=1/2 e x=2, e no ponto crítico x=1.\n
Calculemos cada valor (mantendo as formas exatas, úteis na prova):
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}-\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Lembrando que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, temos
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}-(-\ln 2)=\tfrac{1}{2}+\ln 2.
Próximo,
f(1)=1-\ln(1)=1-0=1.
E
f(2)=2-\ln 2.

Passo 6

Comparemos os três valores para decidir máximo e mínimo (explicando o raciocínio): queremos o menor e o maior entre
\tfrac{1}{2}+\ln 2,\quad 1,\quad 2-\ln 2.
Podemos comparar numericamente com \ln 2\approx 0,6931 só para ter noção:
\tfrac{1}{2}+\ln 2\approx 0,5+0,6931=1,1931,
1=1,0000,
2-\ln 2\approx 2-0,6931=1,3069.
Portanto a menor é 1 (em x=1) e a maior é 2-\ln 2 (em x=2). Como explicado antes, o comportamento de f' (decrescente antes de 1 e crescente depois de 1) garante que x=1 é realmente mínimo absoluto no intervalo; os extremos do intervalo são candidatos a máximo e mínimo e a comparação aritmética mostrou que o máximo absoluto ocorre em x=2.

Passo 7

Recapitulando de forma direta e pronta para a prova: o ponto crítico interno é x=1 (mínimo), os extremos são x=1/2 e x=2. Avaliando e comparando, obtemos os valores de f e escolhemos o menor e o maior.

Resposta

Mínimo absoluto: \;f(1)=1 em \;x=1.\n
Máximo absoluto: \;f(2)=2-\ln 2 em \;x=2.

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