Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado:
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo fechado
e pede os valores máximos e mínimos absolutos de
nesse intervalo.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): numa função contínua em um intervalo fechado, máximos e mínimos absolutos existem (Teorema do Valor Extremo). Para encontrá-los, a prática padrão é:
- calcular os pontos críticos dentro do intervalo (onde
ou não existe); - calcular os valores de
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo; - comparar esses valores — o maior é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.\n
Vou aplicar exatamente esses passos, explicando cada fórmula usada.
Passo 3
Calculemos a derivada
e encontremos os pontos críticos.\n
Primeiro, lembrar regra básica: a derivada de é
(para
). A derivada de
é
. Assim,
Primeiro, lembrar regra básica: a derivada de
Colocando numa única fração:
Ponto crítico é onde
ou
não existe. Aqui
existe para
, logo em nosso intervalo. Resolver
:
Portanto há um único ponto crítico dentro de
, que é
.
Passo 4
Classificação do ponto crítico usando o sinal de
(interpretação didática): se
muda de negativo para positivo em
, então
tem mínimo local em
; se muda de positivo para negativo há máximo local. Vamos ver o sinal de
nas duas partes do intervalo:
- Para
: e então . Logo está decrescendo antes de . - Para
: e então . Logo está crescendo depois de .
Assimmuda de negativo para positivo em , o que indica que é um mínimo (local). Como estamos num intervalo fechado e é contínua, esse mínimo local é candidato a mínimo absoluto.
Observação alternativa (curtinha): a segunda derivada é
em todo o intervalo, o que confirma que
é convexa e que qualquer ponto crítico é mínimo.
Passo 5
Agora avaliaremos
nos pontos relevantes: extremos do intervalo
e
, e no ponto crítico
.\n
Calculemos cada valor (mantendo as formas exatas, úteis na prova):
Calculemos cada valor (mantendo as formas exatas, úteis na prova):
Lembrando que
, temos
Próximo,
E
Passo 6
Comparemos os três valores para decidir máximo e mínimo (explicando o raciocínio): queremos o menor e o maior entre
Podemos comparar numericamente com
só para ter noção:
Portanto a menor é
(em
) e a maior é
(em
). Como explicado antes, o comportamento de
(decrescente antes de 1 e crescente depois de 1) garante que
é realmente mínimo absoluto no intervalo; os extremos do intervalo são candidatos a máximo e mínimo e a comparação aritmética mostrou que o máximo absoluto ocorre em
.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e pronta para a prova: o ponto crítico interno é
(mínimo), os extremos são
e
. Avaliando e comparando, obtemos os valores de
e escolhemos o menor e o maior.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.\n
Máximo absoluto: em
.
Máximo absoluto: