Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo x, calcule os valores de x onde f^{\prime}(x)=0 e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(b) f(x)=-x^{2}+5 x-6,

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas para a função f:
  • Calcular as interseções do gráfico de f com o eixo x (ou seja, resolver f(x)=0).
  • Calcular os valores de x onde f^{\prime}(x)=0.
  • Fazer a tabela de variação (onde a função cresce/decresce e identificar extremos).
  • Usar essas informações para esboçar o gráfico.
A função dada é
f(x) = -x^{2} + 5x - 6.
Informações úteis que o enunciado dá (explícitas na função):
  • É um polinômio de grau 2 (parábola).
  • O coeficiente de x^{2} é -1, ou seja, a parábola abre para baixo.

Passo 2

Vamos achar as interseções com o eixo x. Interseções com o eixo x são os pontos em que y=0, isto é, as soluções da equação
-x^{2} + 5x - 6 = 0.
Explico como resolver: uma maneira simples é multiplicar por -1 para facilitar fatoração. Fazendo isso obtemos
x^{2} - 5x + 6 = 0.
Agora procuro dois números cuja soma é 5 (coeficiente de x) e cujo produto é 6 (termo constante). Esses números são 2 e 3, porque 2+3=5 e 2\cdot 3 = 6. Logo a fatoração é
x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Portanto as raízes são x=2 e x=3. Ou seja, as interseções com o eixo x são os pontos (2,0) e (3,0).

Passo 3

Vou explicar um pouco sobre por que a fatoração resolveu rápido: quadráticas da forma \,x^{2}+bx+c, podem ser fatoradas quando existem inteiros r e s tais que r+s=b e rs=c. Se não for óbvio, usa-se a fórmula quadrática, mas aqui foi possível fatorar diretamente.

Passo 4

Calcular f^{\prime}(x). Para isso usamos a regra de derivada para potências: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em f(x):
f(x) = -x^{2} + 5x - 6
\Rightarrow f^{\prime}(x) = -2x + 5.
Explico: a derivada de -x^{2} é -2x, a derivada de 5x é 5, e a derivada de -6 (constante) é 0.

Passo 5

Encontrar os pontos onde f^{\prime}(x)=0. Resolvemos
-2x + 5 = 0.
Isolando x:
-2x = -5 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}.
Em forma decimal (usando vírgula) isso é x = 2,5. Esse x é um crítico; para uma parábola com coeficiente de x^{2} negativo, esse ponto será um máximo local (na verdade o máximo global da função).

Passo 6

Calcular o valor da função no ponto crítico (o valor máximo). Substituo x=\frac{5}{2} em f(x):
f\!\left(\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{5}{2}\right)^{2} + 5\left(\frac{5}{2}\right) - 6.
Faço as contas passo a passo:
\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4},
- \frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 6.
Coloco tudo com denominador 4:
- \frac{25}{4} + \frac{50}{4} - \frac{24}{4} = \frac{-25 + 50 - 24}{4} = \frac{1}{4}.
Portanto o valor máximo é f\!\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{4}.

Passo 7

Calcular também o intercepto com o eixo y (útil para o esboço). Para x=0:
f(0) = -0 + 0 - 6 = -6.
Então o ponto y-intercepto é (0,-6).

Passo 8

Determinar o sinal de f^{\prime}(x) para fazer a tabela de variação. Temos
f^{\prime}(x) = -2x + 5.
A função derivada é uma linha reta que é positiva quando -2x+5>0, isto é, quando x<\frac{5}{2}, e é negativa quando x>\frac{5}{2}. Em palavras:
  • Para x<\frac{5}{2} (ou x<2,5) temos f^{\prime}(x)>0 f é crescente.
  • Para x=\frac{5}{2} temos f^{\prime}(x)=0.
  • Para x>\frac{5}{2} temos f^{\prime}(x)<0 f é decrescente.

Passo 9

Montar a tabela de variação (em texto, mostrando intervalos, comportamento e valores notáveis). Vou listar os pontos-chave: (-\infty,\frac{5}{2},+\infty), os valores correspondentes e o tipo de monotonia.
Intervalo: (-\infty,\frac{5}{2}) f cresce de -\infty até f\!\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{4}.
No ponto x=\frac{5}{2} — máximo local (e global aqui) com f=\frac{1}{4}.
Intervalo: (\frac{5}{2},+\infty) f decresce de f\!\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{4} até -\infty quando x\to+\infty.
Também os pontos notáveis na variação: (2,0) e (3,0) são zeros da função e ficam à esquerda e à direita do vértice, respectivamente; o vértice (e eixo de simetria) é x=\frac{5}{2}.

Passo 10

Esboço do gráfico (descrição prática para você desenhar na prova):
  • É uma parábola que abre para baixo (porque coeficiente de x^{2} é negativo).
  • Vértice (ponto máximo): \left(\frac{5}{2},\frac{1}{4}\right).
  • Interseções com o eixo x: (2,0) e (3,0).
  • Interseção com o eixo y: (0,-6).
  • Eixo de simetria: a reta x=\frac{5}{2} (ou x=2,5).
  • Comportamento nas extremidades: quando x\to\pm\infty, f(x)\to -\infty.
Como desenhar: coloque os pontos citados, trace uma curva suave em forma de “cúpula” passando por (2,0) e (3,0), atingindo o máximo em \left(\frac{5}{2},\frac{1}{4}\right) e descendo para -\infty nas duas extremidades. Lembre-se que a parábola é simétrica em relação a x=\frac{5}{2}.

Resposta

Interseções com o eixo x: x=2 e x=3.
Valores de x onde f^{\prime}(x)=0: x=\dfrac{5}{2}.
Tabela de variação (resumo): f cresce em (-\infty,\tfrac{5}{2}), tem máximo f(\tfrac{5}{2})=\tfrac{1}{4} em x=\tfrac{5}{2}, e decresce em (\tfrac{5}{2},+\infty).

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