Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo
, calcule os valores de
onde
e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(b)
,
(b)
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas para a função
:
- Calcular as interseções do gráfico de
com o eixo (ou seja, resolver ). - Calcular os valores de
onde . - Fazer a tabela de variação (onde a função cresce/decresce e identificar extremos).
- Usar essas informações para esboçar o gráfico.
A função dada é
Informações úteis que o enunciado dá (explícitas na função):
- É um polinômio de grau
(parábola). - O coeficiente de
é , ou seja, a parábola abre para baixo.
Passo 2
Vamos achar as interseções com o eixo
. Interseções com o eixo
são os pontos em que
, isto é, as soluções da equação
Explico como resolver: uma maneira simples é multiplicar por
para facilitar fatoração. Fazendo isso obtemos
Agora procuro dois números cuja soma é
(coeficiente de
) e cujo produto é
(termo constante). Esses números são
e
, porque
e
. Logo a fatoração é
Portanto as raízes são
e
. Ou seja, as interseções com o eixo
são os pontos
e
.
Passo 3
Vou explicar um pouco sobre por que a fatoração resolveu rápido: quadráticas da forma
, podem ser fatoradas quando existem inteiros
e
tais que
e
. Se não for óbvio, usa-se a fórmula quadrática, mas aqui foi possível fatorar diretamente.
Passo 4
Calcular
. Para isso usamos a regra de derivada para potências: a derivada de
é
. Aplicando termo a termo em
:
Explico: a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
(constante) é
.
Passo 5
Encontrar os pontos onde
. Resolvemos
Isolando
:
Em forma decimal (usando vírgula) isso é
. Esse
é um crítico; para uma parábola com coeficiente de
negativo, esse ponto será um máximo local (na verdade o máximo global da função).
Passo 6
Calcular o valor da função no ponto crítico (o valor máximo). Substituo
em
:
Faço as contas passo a passo:
Coloco tudo com denominador
:
Portanto o valor máximo é
.
Passo 7
Calcular também o intercepto com o eixo
(útil para o esboço). Para
:
Então o ponto
-intercepto é
.
Passo 8
Determinar o sinal de
para fazer a tabela de variação. Temos
A função derivada é uma linha reta que é positiva quando
, isto é, quando
, e é negativa quando
. Em palavras:
- Para
(ou ) temos → é crescente. - Para
temos . - Para
temos → é decrescente.
Passo 9
Montar a tabela de variação (em texto, mostrando intervalos, comportamento e valores notáveis). Vou listar os pontos-chave:
, os valores correspondentes e o tipo de monotonia.
Intervalo:
—
cresce de
até
.
No ponto — máximo local (e global aqui) com
.
Intervalo: —
decresce de
até
quando
.
No ponto
Intervalo:
Também os pontos notáveis na variação:
e
são zeros da função e ficam à esquerda e à direita do vértice, respectivamente; o vértice (e eixo de simetria) é
.
Passo 10
Esboço do gráfico (descrição prática para você desenhar na prova):
- É uma parábola que abre para baixo (porque coeficiente de
é negativo). - Vértice (ponto máximo):
. - Interseções com o eixo
: e . - Interseção com o eixo
: . - Eixo de simetria: a reta
(ou ). - Comportamento nas extremidades: quando
, .
Como desenhar: coloque os pontos citados, trace uma curva suave em forma de “cúpula” passando por
e
, atingindo o máximo em
e descendo para
nas duas extremidades. Lembre-se que a parábola é simétrica em relação a
.
Resposta
Interseções com o eixo
:
e
.
Valores de onde
:
.
Tabela de variação (resumo): cresce em
, tem máximo
em
, e decresce em
.
Valores de
Tabela de variação (resumo):