Uma partícula viaja a velocidade
por 1 segundo e então
para sempre. Qual é a distância percorrida?
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula em duas etapas:
durante
segundo (isto é, para
) e depois
para todo
(“para sempre”). A pergunta é: qual é a distância total percorrida pela partícula desde
até o infinito de tempo? As informações relevantes são:
para
,
para
,
e queremos a distância total percorrida de até
.
e queremos a distância total percorrida de
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): velocidade e distância. A velocidade
é a derivada da posição
, isto é,
Se a velocidade for não-negativa em todo o intervalo considerado, a distância percorrida entre tempos
e
é dada pela integral
Aqui as funções dadas são positivas para os intervalos indicados (pois
e
), logo a distância total de
a
é a integral imprópria
Como
é dada por partes, usamos a soma das integrais nas duas partes:
Passo 3
Montando explicitamente a integral a calcular:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 4
Cálculo da primeira integral. Antiderivada de
:
a regra básica de potência diz que para
.
Aplicando com e multiplicando por
:
a regra básica de potência diz que
Aplicando com
Avaliaremos entre
e
:
Passo 5
Cálculo da segunda integral (imprópria). Primeiro observe que
Antiderivada de
é
. Assim uma antiderivada de
é
, ou, de forma equivalente,
. Vamos usar limites para a integral imprópria:
Agora avaliamos os extremos:
quando ,
; e em
,
. Então
quando
Portanto
Passo 6
Somando as duas parcelas obtidas:
Interpretação: a partícula percorre
unidade de comprimento no primeiro segundo e, ao longo de todo o tempo após
, percorre mais
unidades, totalizando
unidades de comprimento.