Uma partícula viaja a velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t})=3 \mathrm{t}^{\wedge} 2 por 1 segundo e então \mathrm{v}(\mathrm{t})=3 \mathrm{e}^{\wedge}\{1-\mathrm{t}\} para sempre. Qual é a distância percorrida?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula em duas etapas: \mathrm{v}(\mathrm{t})=3\mathrm{t}^{2} durante 1 segundo (isto é, para 0\le \mathrm{t}\le 1) e depois \mathrm{v}(\mathrm{t})=3e^{\,1-\mathrm{t}} para todo \mathrm{t}\ge 1 (“para sempre”). A pergunta é: qual é a distância total percorrida pela partícula desde \mathrm{t}=0 até o infinito de tempo? As informações relevantes são:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=3\mathrm{t}^{2} para 0\le \mathrm{t}\le 1,
\mathrm{v}(\mathrm{t})=3e^{\,1-\mathrm{t}} para \mathrm{t}\ge 1,
e queremos a distância total percorrida de \mathrm{t}=0 até \mathrm{t}\to\infty.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): velocidade e distância. A velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t}) é a derivada da posição \mathrm{x}(\mathrm{t}), isto é,
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\frac{d\mathrm{x}}{d\mathrm{t}}.
Se a velocidade for não-negativa em todo o intervalo considerado, a distância percorrida entre tempos a e b é dada pela integral
\text{distância}=\int_{a}^{b}\mathrm{v}(\mathrm{t})\,d\mathrm{t}.â
Aqui as funções dadas são positivas para os intervalos indicados (pois 3\mathrm{t}^{2}\ge0 e 3e^{\,1-\mathrm{t}}>0), logo a distância total de 0 a \infty é a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\mathrm{v}(\mathrm{t})\,d\mathrm{t}.
Como \mathrm{v} é dada por partes, usamos a soma das integrais nas duas partes:
\int_{0}^{1}3\mathrm{t}^{2}\,d\mathrm{t}+\int_{1}^{\infty}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t}.

Passo 3

Montando explicitamente a integral a calcular:
D=\int_{0}^{1}3\mathrm{t}^{2}\,d\mathrm{t}+\int_{1}^{\infty}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t}.
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 4

Cálculo da primeira integral. Antiderivada de 3\mathrm{t}^{2}:
a regra básica de potência diz que \displaystyle\int \mathrm{t}^{n}\,d\mathrm{t}=\frac{\mathrm{t}^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Aplicando com n=2 e multiplicando por 3:
\int 3\mathrm{t}^{2}\,d\mathrm{t}=3\cdot\frac{\mathrm{t}^{3}}{3}=\mathrm{t}^{3}+C.
Avaliaremos entre 0 e 1:
\int_{0}^{1}3\mathrm{t}^{2}\,d\mathrm{t}=\left[\mathrm{t}^{3}\right]_{0}^{1}=1^{3}-0^{3}=1.

Passo 5

Cálculo da segunda integral (imprópria). Primeiro observe que
3e^{\,1-\mathrm{t}}=3e^{1}\,e^{-\mathrm{t}}=3e\cdot e^{-\mathrm{t}}.
Antiderivada de e^{-\mathrm{t}} é -e^{-\mathrm{t}}. Assim uma antiderivada de 3e^{\,1-\mathrm{t}} é -3e\;e^{-\mathrm{t}}, ou, de forma equivalente, -3e^{\,1-\mathrm{t}}. Vamos usar limites para a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t} =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t} =\lim_{b\to\infty}\left[-3e^{\,1-\mathrm{t}}\right]_{1}^{b}.
Agora avaliamos os extremos:
quando b\to\infty, e^{\,1-b}\to 0; e em \mathrm{t}=1, e^{\,1-1}=e^{0}=1. Então
\lim_{b\to\infty}\left(-3e^{\,1-b}\right)-\left(-3e^{\,1-1}\right)=0-(-3\cdot1)=3.
Portanto
\int_{1}^{\infty}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t}=3.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtidas:
D= \int_{0}^{1}3\mathrm{t}^{2}\,d\mathrm{t}+\int_{1}^{\infty}3e^{\,1-\mathrm{t}}\,d\mathrm{t}=1+3=4.
Interpretação: a partícula percorre 1 unidade de comprimento no primeiro segundo e, ao longo de todo o tempo após t=1, percorre mais 3 unidades, totalizando 4 unidades de comprimento.

Resposta

4

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