Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo
, calcule os valores de
onde
e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas claras:
- Interseções do gráfico de
com o eixo (ou seja, as raízes da equação ). - Valores de
onde (os pontos críticos). - A tabela de variação (intervalos onde
é crescente ou decrescente) e, a partir disso, esboçar o gráfico (localizar máximos/minímos locais e comportamento geral).
A função fornecida é
Passo 2
Vou calcular a derivada
. Primeiro, uma breve explicação da regra que uso: para polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Para constantes multiplicadas, a constante sai da derivada. Aplicando termo a termo:
então
Aqui cada coeficiente tem o sentido: o termo
vem de derivar
,
vem de derivar
e
vem de derivar
; a constante
some na derivada.
Passo 3
Agora encontramos as interseções com o eixo
, ou seja, resolvemos
. Uma técnica prática para polinômios é testar raízes racionais possíveis pelo teorema das raízes racionais: divisores de
sobre divisores do coeficiente líder (1), ou seja, possíveis
.
Testo
:
logo
é raiz.
Como
é raiz, fatoro
por
. Faço divisão sintética (ou divisão de polinômio):
Dividindo
por
obtemos o quociente
. Portanto
Factorizando o quadrático:
Logo as raízes são
Passo 4
Agora resolvo
, isto é
Para quadráticas usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Relembre: para
as raízes são
onde
é o discriminante.
Aqui
,
,
. Então
Portanto as soluções são
Vou também dar aproximações decimais (úteis para desenhar):
Passo 5
Interpretação do sinal de
(tabela de sinais): como
é um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo (
), seu gráfico é uma parábola voltada para cima. Assim
fora das raízes da derivada e
entre as raízes. Em termos de intervalos, tomando
(aprox.
) e
(aprox.
):
-
para , -
para , -
para .
Isto significa que
é crescente em
, decrescente em
e crescente em
. Consequentemente,
é um ponto de máximo local e
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Calculo os valores de
nessas extremidades locais para poder completar a tabela de variação e fazer o esboço. Vou avaliar
em
e
(uso as aproximações para obter valores numéricos compreensíveis na prova).
Lembro:
.
Para
:
-
, -
.
Agora
Calculo passo a passo:
Portanto
. Esse é o valor do máximo local (positivo e pequeno).
Para
:
-
, -
.
Agora
Calculo passo a passo:
Portanto
. Esse é o valor do mínimo local.
Passo 7
Montagem da tabela de variação qualitativa (vou descrever os intervalos, monotonicidade e valores relevantes):
- À esquerda, quando
, (porque é um cúbico com coeficiente líder positivo). - Em
a função corta o eixo (raiz). - Em
temos um máximo local com . - Em
a função corta o eixo (raiz). - Em
temos um mínimo local com . - Em
a função corta o eixo (raiz). - Para
, .
Isso permite esboçar o gráfico: começa vindo de
, cresce até o máximo em
(logo acima do eixo
), depois decresce atravessando as raízes
e depois atinge um mínimo profundo perto de
(bem abaixo de
), sobe e cruza o eixo em
e segue para
.
Passo 8
Resumo prático para você levar para a prova (valores exatos e aproximações úteis):
- Raízes exatas:
. - Pontos críticos exatos:
com aproximações e . - Máximo local em
com . - Mínimo local em
com . - Variação: crescente em
, decrescente em , crescente em .
Resposta
Interseções com o eixo
:
.
Valores de onde
:
.
Tabela de variação: é crescente em
, decrescente em
, crescente em
; máximo local em
com
; mínimo local em
com
.
Valores de
Tabela de variação: