Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo x, calcule os valores de x onde f^{\prime}(x)=0 e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(c) f(x)=x^{3}+4 x^{2}+x-6

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três coisas claras:
  • Interseções do gráfico de f com o eixo x (ou seja, as raízes da equação f(x)=0).
  • Valores de x onde f'(x)=0 (os pontos críticos).
  • A tabela de variação (intervalos onde f é crescente ou decrescente) e, a partir disso, esboçar o gráfico (localizar máximos/minímos locais e comportamento geral).
A função fornecida é
f(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6.

Passo 2

Vou calcular a derivada f'(x). Primeiro, uma breve explicação da regra que uso: para polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de x^n é n x^{n-1}. Para constantes multiplicadas, a constante sai da derivada. Aplicando termo a termo:
f(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6
então
f'(x)=3x^{2}+8x+1.
Aqui cada coeficiente tem o sentido: o termo 3x^{2} vem de derivar x^{3}, 8x vem de derivar 4x^{2} e 1 vem de derivar x; a constante -6 some na derivada.

Passo 3

Agora encontramos as interseções com o eixo x, ou seja, resolvemos f(x)=0. Uma técnica prática para polinômios é testar raízes racionais possíveis pelo teorema das raízes racionais: divisores de -6 sobre divisores do coeficiente líder (1), ou seja, possíveis \pm1,\pm2,\pm3,\pm6.
Testo x=1:
f(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}+1-6=1+4+1-6=0,
logo x=1 é raiz.
Como x=1 é raiz, fatoro f(x) por (x-1). Faço divisão sintética (ou divisão de polinômio):
Dividindo x^{3}+4x^{2}+x-6 por x-1 obtemos o quociente x^{2}+5x+6. Portanto
f(x)=(x-1)(x^{2}+5x+6).
Factorizando o quadrático:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Logo as raízes são
x=1,\quad x=-2,\quad x=-3.

Passo 4

Agora resolvo f'(x)=0, isto é
3x^{2}+8x+1=0.
Para quadráticas usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Relembre: para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante.
Aqui a=3, b=8, c=1. Então
\Delta = 8^{2}-4\cdot3\cdot1 =64-12=52.
Portanto as soluções são
x=\frac{-8\pm\sqrt{52}}{2\cdot3}=\frac{-8\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-4\pm\sqrt{13}}{3}.
Vou também dar aproximações decimais (úteis para desenhar):
\sqrt{13}\approx3{,}605551275\Rightarrow x_{1}\approx\frac{-4-3{,}605551275}{3}\approx-2{,}53518,
x_{2}\approx\frac{-4+3{,}605551275}{3}\approx-0{,}13148.

Passo 5

Interpretação do sinal de f'(x) (tabela de sinais): como f'(x)=3x^{2}+8x+1 é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo ( 3>0), seu gráfico é uma parábola voltada para cima. Assim f'(x)>0 fora das raízes da derivada e f'(x)<0 entre as raízes. Em termos de intervalos, tomando x_{1}=\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3} (aprox. -2{,}535) e x_{2}=\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3} (aprox. -0{,}1315):
  • f'(x)>0 para x\in(-\infty,\;x_{1}),
  • f'(x)<0 para x\in(x_{1},\;x_{2}),
  • f'(x)>0 para x\in(x_{2},\;\infty).
Isto significa que f é crescente em (-\infty,x_{1}), decrescente em (x_{1},x_{2}) e crescente em (x_{2},\infty). Consequentemente, x_{1} é um ponto de máximo local e x_{2} é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Calculo os valores de f nessas extremidades locais para poder completar a tabela de variação e fazer o esboço. Vou avaliar f em x_{1} e x_{2} (uso as aproximações para obter valores numéricos compreensíveis na prova).
Lembro: f(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6.
Para x_{1}\approx-2{,}535183758:
  • x_{1}^{2}\approx6{,}428171,
  • x_{1}^{3}\approx-16{,}307122.
    Agora
f(x_{1})\approx -16{,}307122 +4\cdot6{,}428171 +(-2{,}535184)-6.
Calculo passo a passo:
4\cdot6{,}428171=25{,}712684,
-16{,}307122+25{,}712684=9{,}405562,
9{,}405562-2{,}535184=6{,}870378,
6{,}870378-6=0{,}870378.
Portanto f(x_{1})\approx0{,}8704. Esse é o valor do máximo local (positivo e pequeno).
Para x_{2}\approx-0{,}131482908:
  • x_{2}^{2}\approx0{,}017286,
  • x_{2}^{3}\approx-0{,}002272.
    Agora
f(x_{2})\approx -0{,}002272 +4\cdot0{,}017286 +(-0{,}131483)-6.
Calculo passo a passo:
4\cdot0{,}017286=0{,}069144,
-0{,}002272+0{,}069144=0{,}066872,
0{,}066872-0{,}131483=-0{,}064611,
-0{,}064611-6=-6{,}064611.
Portanto f(x_{2})\approx-6{,}0646. Esse é o valor do mínimo local.

Passo 7

Montagem da tabela de variação qualitativa (vou descrever os intervalos, monotonicidade e valores relevantes):
  • À esquerda, quando x\to-\infty, f(x)\to-\infty (porque é um cúbico com coeficiente líder positivo).
  • Em x=-3 a função corta o eixo x (raiz).
  • Em x=x_{1}\approx-2{,}535 temos um máximo local com f(x_{1})\approx0{,}8704.
  • Em x=-2 a função corta o eixo x (raiz).
  • Em x=x_{2}\approx-0{,}1315 temos um mínimo local com f(x_{2})\approx-6{,}0646.
  • Em x=1 a função corta o eixo x (raiz).
  • Para x\to\infty, f(x)\to\infty.
Isso permite esboçar o gráfico: começa vindo de -\infty, cresce até o máximo em x_{1} (logo acima do eixo x), depois decresce atravessando as raízes -2 e depois atinge um mínimo profundo perto de -0{,}13 (bem abaixo de -6), sobe e cruza o eixo em x=1 e segue para +\infty.

Passo 8

Resumo prático para você levar para a prova (valores exatos e aproximações úteis):
  • Raízes exatas: -3,-2,1.
  • Pontos críticos exatos: x=\dfrac{-4\pm\sqrt{13}}{3} com aproximações -2{,}53518 e -0{,}13148.
  • Máximo local em x\approx-2{,}535 com f\approx0{,}8704.
  • Mínimo local em x\approx-0{,}1315 com f\approx-6{,}0646.
  • Variação: crescente em (-\infty,\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3}), decrescente em (\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3},\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3}), crescente em (\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3},\infty).

Resposta

Interseções com o eixo x: x=-3,\;-2,\;1.
Valores de x onde f'(x)=0: x=\dfrac{-4\pm\sqrt{13}}{3}\approx -2{,}53518,\;-0{,}13148.
Tabela de variação: f é crescente em (-\infty,\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3}), decrescente em (\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3},\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3}), crescente em (\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3},\infty); máximo local em x=\dfrac{-4-\sqrt{13}}{3} com f\approx0{,}8704; mínimo local em x=\dfrac{-4+\sqrt{13}}{3} com f\approx-6{,}0646.

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