Calcule \int_{0}^{2} x^{2} e^{2 x} d x
Dica 1: use ntegração por partes, mais de uma vez se necessário.
Dica 2: Revise/leia cuidadosamente a Seção 7.1 do Stewart (Integração por partes) ou as notas e video-aulas do Prof. Wagner ou do Prof. Pedrosa (disponíveis no Moodle)
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral definido
\int_{0}^{2} x^{2} e^{2x}\,dx
usando integração por partes (Seção 7.1 do Stewart).

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes em \int x^{2}e^{2x}\,dx:
escolhemos
u = x^{2},\quad dv = e^{2x}\,dx
logo
du = 2x\,dx,\quad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Então
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int \Bigl(\frac{1}{2}\cdot 2x\Bigr)e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.

Passo 3

Segunda aplicação de integração por partes em \int x e^{2x}\,dx:
escolhemos
u = x,\quad dv = e^{2x}\,dx
logo
du = dx,\quad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Assim
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.
Substituindo de volta,
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} -\Bigl(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\Bigr) = e^{2x}\Bigl(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\Bigr) + C.

Passo 4

Avaliação no intervalo [0,2]:
\int_{0}^{2}x^{2}e^{2x}\,dx =\left[\frac{e^{2x}}{4}\bigl(2x^{2}-2x+1\bigr)\right]_{0}^{2} =\frac{1}{4}\bigl(5e^{4}-1\bigr).

Passo 5

Cálculo numérico aproximado usando e^{4}\approx 54.5981500331:
\frac{5e^{4}-1}{4}\approx \frac{5\cdot 54.5981500331 - 1}{4} = \frac{272.9907501655 - 1}{4} = \frac{271.9907501655}{4} \approx 67.99769.

Resposta

67.99769

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