Uma determinada fábrica na Zona Franca de Manaus tem uma linha de montagem para fabricar um novo telefone celular. A taxa de produção desses celulares após t semanas é \frac{d x}{d t}=5000\left(1-100 \frac{1}{(t+10)^{2}}\right) aparelhos celulares/semana
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da quinta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da quinta semana corresponde a 3 \leq t \leq 6 ? Ou a 3 \leq t \leq 5 ? Ou a 2 \leq t \leq 5 ? Ou a 2 \leq t \leq 6 ? Pense cuidadosamente sobre isto (veja a Dica 3)
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a 0 \leq t \leq 1, a Semana 2 a 1 \leq t \leq 2, etc
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} p_{i}^{*}\left(9\right.-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)

Passo 1

O enunciado dá a taxa de produção
\frac{dx}{dt} = 5000\Bigl(1 - \frac{100}{(t+10)^2}\Bigr)
em aparelhos por semana e pede o total produzido desde o início da 3ª semana até o fim da 5ª semana. Vamos usar que o número de aparelhos produzidos num intervalo [a,b] é
\int_{a}^{b} \frac{dx}{dt}\,dt.

Passo 2

Para mapear semanas em t:
Semana 1: 0\le t\le1
Semana 2: 1\le t\le2
Semana 3: 2\le t\le3
Semana 4: 3\le t\le4
Semana 5: 4\le t\le5
Logo, do começo da 3ª semana ao fim da 5ª é 2\le t\le5.

Passo 3

O total produzido é
\int_{2}^{5}5000\Bigl(1 - \frac{100}{(t+10)^{2}}\Bigr)\,dt =5000\int_{2}^{5}1\,dt \;-\;5000\cdot100\int_{2}^{5}\frac{1}{(t+10)^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculemos cada parte.
5000\int_{2}^{5}1\,dt = 5000\bigl[t\bigr]_{2}^{5} =5000\,(5-2)=15000.
\int_{2}^{5}\frac{1}{(t+10)^{2}}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{t+10}\Bigr]_{2}^{5} =-\frac{1}{15}+\frac{1}{12}=\frac{1}{60}.
Portanto
5000\cdot100\int_{2}^{5}\frac{1}{(t+10)^{2}}\,dt =500000\cdot\frac{1}{60}=8333.3333333\ldots

Passo 5

Substituindo, o total é
15000 - 8333.3333333\ldots = 6666.6666667\ldots

Resposta

6666.6667

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