(3,0 Pontos) Determine a solução da EDO
yx+6 x+(ln x-2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
yx+6x+(ln x-2)dydx=0
que é uma equação linear em y(x). Para resolvê-la, vamos reescrever na forma padrão
dydx+p(x),y=q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Isolando dydx e dividindo por ln x-2 (supondo x>0 e ln xneq2) obtemos
dydx+underbrace1x(ln x-2)p(x),y =underbrace-6xln x-2q(x)

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral1x(ln x-2),dxr)
Fazendo a substituição t=ln x-2, dt=dx/x, vem
integral1x(ln x-2),dx =integraldtt =lnlvert trvert =lnlvertln x-2rvert,
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mu(x)=lvertln x-2rvert
Escolhendo o sinal positivo, usamos mu(x)=ln x-2.

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por mu(x) temos
(ln x-2)dydx+1x,y =ddxl[(ln x-2),yr] =-6x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integralddxl[(ln x-2)yr],dx =integral -6x,dx Longrightarrow (ln x-2),y=-3x^2+C,
onde C é constante de integração.

Resposta

y(x)=-3x^2+Cln x-2

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