Seja
é derivável em
? Por quê?
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pergunta se ela é derivável em p=2; o conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções definidas por partes e vamos precisar verificar continuidade em x=2 e igualdade das derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro conferimos se f é contínua em x=2, calculando f(2) e os limites laterais. Temos f(2)=2·2+4=8, e como x→2⁺ f(x)=−2+10=8. Logo, f é contínua em 2.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral à esquerda em x=2; para x<2 f(x)=2x+4, então f '(x)=2 para todo x<2 e, em particular, f '_–(2)=2.
Passo 4
Em seguida calculamos a derivada lateral à direita em x=2; para x>2 f(x)=−x+10, então f '(x)=−1 para todo x>2 e portanto f '_+(2)=−1.
Passo 5
Como as derivadas laterais em 2 são diferentes (2≠−1), concluímos que f não é derivável em p=2.
Resposta
Não, f não é derivável em p=2, pois as derivadas laterais em x=2 (2 e −1) são diferentes.