Uma vez que, para todo
e
, vale a desigualdade
, prove que para
e
tem-se
.
Passo 1
O enunciado nos dá que, para qualquer real
e inteiro
, valha a desigualdade
. Queremos mostrar que, para
e
, tem-se
.
Passo 2
Como
, a recíproca
satisfaz
. Então podemos aplicar a desigualdade dada a
:
Aplicando temos . Como ambos os lados são positivos, podemos inverter mantendo o sentido invertido da inequação (função
decrescente em
):
Invertemos e obtemos
Aplicando temos
Invertemos e obtemos
mas
e
. Logo
Dividindo ambos os lados por
chega-se a
Passo 3
Essa última desigualdade é exatamente o que queríamos provar.