Uma vez que, para todo x >= 1 e n in N, vale a desigualdade x^n>n(x-1), prove que para 0 e n in N tem-se x^n-1<[n(1-x)]^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá que, para qualquer real z>=1 e inteiro n>=1, valha a desigualdade z^n>n(z-1). Queremos mostrar que, para 0 e nin N, tem-se x^n-1<[n(1-x)]^-1.

Passo 2

Como 0, a recíproca z=1/x satisfaz z>1. Então podemos aplicar a desigualdade dada a z:
Aplicando temos z^n>n(z-1). Como ambos os lados são positivos, podemos inverter mantendo o sentido invertido da inequação (função umapsto1/u decrescente em u>0):
Invertemos e obtemos
1z^n<1n(z-1)
mas 1/z^n=x^n e z-1=1/x-1=(1-x)/x. Logo
x^n<1nl((1-x)/xr)= xn(1-x)
Dividindo ambos os lados por x>0 chega-se a
x^n-1<1n(1-x)

Passo 3

Essa última desigualdade é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

x^n-1<[n(1-x)]^-1

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